Die allgemeine ln-Funktion

Die [b]allgemeine natürliche Logarithmusfunktion[/b] lässt sich durch [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx-c\right)+d[/math] mit [math]a,b,c,d\in\mathbb{R};[/math][math]a\ne0,b\ne0[/math]beschreiben. [br][br]Bisher haben wir nur den Sonderfall [math]f\left(x\right)=ln\left(x\right)[/math] mit [math]a=1,b=1,c=0[/math] und [math]d=0[/math]kennengelernt.[br][br]Verschiebe jeweils den Schieberegler und vergleiche die Graphen mit dem Graphen der ln-Funktion.

Parameter a

Frage 1: Zu Parameter a

Kreuze die Aussagen an, die auf die Auswirkungen des Parameters a auf den Graphen der allgemeinen natürlichen Logarithmusfunktion zutreffen.

Für a > 0 ist der Graph streng monoton fallend und rechtsgekrümmt. Ist a < 0, so ist der Graph streng monoton fallend und linksgekrümmt. Für a > 1 steigt der Graph schneller als der Graph der ln-Funktion,[br]d. h. er ist entlang der y-Achse gestreckt. Das Ändern des Vorzeichens von a bewirkt eine Spiegelung der y-Achse. Der Graph wird entlang der x-Achse verschoben. Der Graph wird entlang der y-Achse verschoben. Alle Graphen schneiden die x-Achse im Punkt (1/0) Das Ändern des Vorzeichens von a bewirkt eine Spiegelung der x-Achse. Für 0 < a <1 steigt der Graph langsamer als der Graph der ln-Funktion, d. h. er ist im Vergleich gestaucht. Für a > 0 ist der Graph streng monoton steigend und rechtsgekrümmt. Für 0 < a< 1 steigt der Graph schneller als der Graph der ln-Funktion, [br]d. h. er ist im Vergleich gestaucht.

Parameter b

Frage 2: Zu Parameter b

Kreuze die Aussagen an, die auf die Auswirkungen des Parameters b auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion zutreffen.

Für b < 0 ist die Funktion nur für negative x-Werte definiert und streng monoton fallend. Der Graph wird entlang der y-Achse verschoben. Das Ändern des Vorzeichens von b bewirkt eine Spiegelung an der y-Achse. Für b > 1 verläuft der Graph flacher als der Graph der ln-Funktion,[br]d. h. er ist entlang der x-Achse gestreckt. Für b > 0 ist die Funktion nur für positive x-Werte definiert und streng monoton steigend. Der Graph wird entlang der x-Achse verschoben. Für 0<b<1 verläuft der Graph flacher und ist entlang der y-Achse gestreckt. Für b < 0 ist die Funktion nur für positive x-Werte definiert und streng monoton fallend. Das Ändern des Vorzeichens von b bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Für b > 1 verläuft der Graph steiler als der Graph der ln-Funktion,[br]d. h. er ist entlang der x-Achse gestaucht. Für 0<b<1 verläuft der Graph flacher und ist entlang der x-Achse gestreckt.

Parameter c

Frage 3: Zu Parameter c

Kreuze die Aussagen an, die auf die Auswirkungen des Parameters c auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion zutreffen.

Für c < 0 wird der Graph um c Einheiten nach rechts verschoben. Für c > 0 wird der Graph um c Einheiten nach links verschoben. Für c < 0 wird der Graph um c Einheiten nach links verschoben. Für c > 0 wird der Graph um c Einheiten nach rechts verschoben.

Parameter d

Frage 4: Zu Parameter d

Kreuze die Aussagen an, die auf die Auswirkungen des Parameters d auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion zutreffen.

Für d < 0 wird der Graph um d Einheiten nach unten verschoben. Für d > 0 wird der Graph um d Einheiten nach oben verschoben. Für d > 0 wird der Graph um d Einheiten nach unten verschoben. Für d < 0 wird der Graph um d Einheiten nach oben verschoben.

Allgemein:

Wie beeinflussen bei einer Logarithmusfunktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx-c\right)+d[/math]mit [math]a,b,c,d\in\mathbb{R}[/math]; [math]a\ne0;b\ne0[/math]die Parameter den Graphen?