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곡률을 이용한 디자인(Designing with curvature)
[b]<2025학년도 두루고등학교 융합수학 캠프>[/b] 이 교과 캠프에서는 평면 곡선과 평면 곡선의 곡률을 학습하고, 곡률로 생성된 평면 곡선을 이용해 자신만의 제품, UI 등을 디자인한다. [이 활동집은 PC 또는 태블릿 환경에 최적화되어 있습니다.]
Table of Contents
- 1. 평면 곡선
- ① 평면 벡터 함수
- ② 미분 가능한 곡선
- ③ 정칙 곡선
- 2. 평면 곡선의 곡률
- ① 곡선이 구부러진 정도
- ② 길이로 매개화된 곡선
- ③ 단위 속력 곡선의 곡률
- 3. 곡률을 이용한 디자인
- ① 곡률로 생성된 평면 곡선
- ② 곡률을 이용해 디자인하기
① 평면 벡터 함수
전자제품, 자동차, 가구, 건축물 등 다양한 제품을 디자인할 때 곡선을 활용한다. 평면 위의 곡선을 수학적으로 표현하고 곡선의 기하적 특성을 분석하는 방법을 알아보자.
평면 위의 곡선을 수학적으로 나타내기 위해 평면 벡터 함수를 정의한다. 여기서 평면 벡터 함숫값이 속하는 좌표 평면은 두 실수의 순서쌍들의 집합으로, [math]\mathbb{R}^2[/math]로 나타낸다. 즉, [br][center][math]\mathbb{R}^2=\{(x,\ y)|x,\ y\in\mathbb{R}\}[/math][/center]이다.
[정의 1] 평면 벡터 함수
정의역이 실수 전체의 집합[math]\mathbb{R}[/math]이고 공역이 좌표 평면 [math]\mathbb{R}^2[/math]인 함수 [math]F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2[/math] 를 [b]평면 벡터 함수[/b](plane vector valued function)라고 한다.[br]평면 벡터 함수의 함숫값 [math]F(t)[/math]는 평면 벡터이므로 [math]x[/math]좌표 성분 [math]x(t)[/math]와 [math]y[/math]좌표 성분 [math]y(t)[/math]의 순서쌍으로 나타낸다. 즉, [br][center][math]F(t)=(x(t),\ y(t))[/math][/center]이다. 이때 두 함수 [math]x(t)[/math]와 [math]y(t)[/math]를 벡터 함수 [math]F(t)[/math]의 [b]성분 함수[/b](coordinate function)라고 한다.[br]
평면 벡터 함수의 예시를 살펴보자.
[예시 1] 직선을 나타내는 평면 벡터 함수
평면 벡터 함수 [math]F(t)=(t,\ t)[/math]는 각 실수 [math]t[/math]에 좌표 평면 위의 점 [math](t,\ t)[/math]를 대응시키는 함수로, 좌표 평면의 직선을 나타내는 일대일 함수이다.
[예시 2] 포물선을 나타내는 평면 벡터 함수
평면 벡터 함수 [math]F(t)=(t,\ t^2)[/math]는 각 실수 [math]t[/math]에 좌표 평면 위의 점 [math](t,\ t^2)[/math]을 대응시키는 함수로, 좌표 평면의 포물선을 나타내는 일대일 함수이다.
[예시 3] 원을 나타내는 평면 벡터 함수
평면 벡터 함수 [math]F(t)=(\cos t,\ \sin t)[/math]는 각 실수 [math]t[/math]에 좌표 평면 위의 점 [math](\cos t,\ \sin t)[/math]를 대응시키는 함수로, 좌표 평면의 원을 나타내는 함수이다. [math]F(t)[/math]는 [math]2\pi[/math]를 주기로 동일한 점을 반복하여 함숫값으로 가져 일대일 함수가 아니다. 하지만 함수[math]F[/math]의 정의역을 [math][0,\ 2\pi)[/math] 등으로 제한하면 일대일 함수를 얻을 수 있다.
[예시 4] 파선을 나타내는 평면 벡터 함수
함수 [math]s:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math]를 [br][center][math]s(t)=\begin{cases}0\quad&(t<0)\\1\quad&(t\ge0)\end{cases}[/math][/center]라고 하자. 평면 벡터 함수 [math]F(t)=(s(t),\ t)[/math]는 그림과 같이 [math]x[/math]축에 수직인 두 반직선을 나타낸다.
[활동 1] 평면 벡터 함수 구성하기
지오지브라 애플릿에 평면 벡터 함수를 구성하고, 노트 애플릿에 자신이 구성한 평면 벡터 함수를 설명하시오.[br][br][b]곡선 명령어[/b][br][code]곡선(x(t)의 식, y(t)의 식, t, t의 범위 왼쪽 끝 값, t의 범위 오른쪽 끝 값)[/code]
① 곡선이 구부러진 정도
아래 사진은 두 전자제품의 모서리 부분을 확대한 것이다. 두 제품 중 시각적으로 더 부드럽게 느껴지는 것을 고르고, 그렇게 생각한 이유를 이야기해보자.[br]
[탐구 1] 곡선이 구부러진 정도
두 평면 정칙 곡선 [math]F_1(t)=(t,\ t^2)[/math]과 [math]F_2(t)=(t,\ -3t^2)[/math]에 대하여 물음에 답[math]t=0[/math]에서 물음에 답하시오.[br]⑴ [math]t=0[/math]에서 두 정칙 곡선이 구부러진 정도를 비교하시오.[br]⑵ [math]t=0[/math] 근방에서 두 정칙 곡선의 속도를 비교하고 곡선이 구부러진 정도를 수치로 표현하시오.[br]⑶ 정칙곡선이 한 점에서 구부러진 정도의 값을 곡률이라고 할 때, 곡률의 정의 방법을 설명하시오.
[탐구 2] 매개화에 따른 곡률 계산
[탐구 1]에서 정의한 곡률에 따라 두 매개화된 곡선 [math]F_1(t)=(t,\ t^2)[/math]과 [math]F_2(t)=(2t,\ 4t^2)[/math]의 [math]t=0[/math]에서의 곡률을 계산하시오. 계산 결과에 근거하여 [탐구 1]에서 정의한 곡률의 적절성을 평가하시오.
① 곡률로 생성된 평면 곡선
2-①에서 살펴본 것과 같이 곡률 함수와 곡선의 시작점, 진행 방향이 정해지면 그에 대응하는 단위 속력 곡선도 유일하게 정해진다. 특히 곡률 함수가 같은 단위 속력 곡선들은 모두 모양이 같다. 따라서 곡률 함수로부터 단위 속력 곡선의 식을 계산할 수 있다. 이를 위해 단위 접벡터의 회전량을 이용해 곡률을 다시 정의한다.
단위 속력 평면 곡선 [math]F(s)[/math]의 단위 접벡터 [math]T(s)[/math]에 대하여 곡률 [math]\kappa(s)[/math]를 [center][math]\kappa(s)=|T'(s)|[/math][/center]로 정의하였다. 즉 [center][math]\begin{aligned}|T'(s_0)|&=\left|\lim_{\Delta s\to 0}\frac{1}{\Delta s}\{T(s_0+\Delta s)-T(s_0)\}\right|\\[br]&=\left|\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta T}{\Delta s}\right|\end{aligned}[/math][/center]이다. 두 벡터 [math]T(s_0+\Delta s),\ T(s_0)[/math]가 이루는 각의 크기를 [math]\Delta \theta[/math]라 하면 [math]\Delta s \to 0[/math]에 따라 [center][math]\Delta\theta\approx \Delta T[/math][/center]이므로 단위 접벡터 [math]T(s)[/math]가 [math]x[/math]축과 이루는 각의 크기 [math]\theta(s)[/math]에 대하여 [math]\kappa(s)=\left|\frac{d}{ds}\theta(s)\right|=|\theta'(s)|[/math]이다. 즉, 곡률은 [math]s[/math]의 변화에 따른 [math]T(s)[/math]의 방향 변화율이다.
단위 속력 곡선 [math]F(s)[/math]의 단위 접벡터[math]T[/math]의 크기는 [math]1[/math]이므로 [math]T(s)[/math]의 각도 [math]\theta(s)[/math]가 주어지면 [math]T(s)=(\cos\theta(s),\ \sin\theta(s))[/math]로 나타낼 수 있다. 여기서 곡률 [math]\kappa(s)=\theta'(s)[/math]를 이용해 [center][math]\theta(s)=\theta_0+\int_{s_0}^s \kappa(u)du[/math][/center] [math]\theta(s)[/math]를 계산할 수 있다. [math]F'(s)=T(s)[/math]를 적분하면 [center][math]F(s)=(x_0,\ y_0)+\int_{s_0}^s (\cos\theta(\sigma),\ \sin\theta(\sigma))d\sigma[/math][/center]이다. 즉, 곡률함수, 곡선의 최초위치와 각도가 주어진 경우 단위 속력 곡선을 결정할 수 있다.