[math]a,b,c,d,e\in\mathbb{R}^+[/math], [math]e=max\left\langle a,b,c,d,e\right\rangle[/math], [size=85]igazoljuk, hogy[/size] [br][math]a\left\langle e-d\right\rangle+b\left\langle e-a\right\rangle+c\left\langle e-b\right\rangle+d\left\langle e-c\right\rangle\le2e^2[/math][size=85]![br][br][/size][size=85]Tekintsük a következő appletet! Az [i]ABCD [/i]négyszög [i]e[/i] oldalú négyzet.[/size]

[math]T_{AEI_{\Delta}}+T_{BFE_{\Lambda}}+T_{CHF_{\Lambda}}+T_{DIH_{\Lambda}}+T_{EFHI}=T_{ABCD}[/math][br][math]\frac{a\left\langle e-d\right\rangle}{2}+\frac{b\left\langle c-a\right\rangle}{2}+\frac{c\left\langle e-b\right\rangle}{2}+\frac{d\left\langle e-c\right\rangle}{2}\le e^2[/math][br][size=85]Innen az egyenlőtlenség mindkét oldalának 2-vel való szorzásával adódik az állítás. [br][br]A kérdés most már az lehet, hogy élesíthető-e a problémában szereplő egyenlőtlenség.[br][/size]

[size=85]Ha [math]a\longrightarrow0,b\longrightarrow e,c\longrightarrow0,d\longrightarrow e[/math][/size], [size=85]akkor [math]T_{EFHI}\longrightarrow0[/math], ebből következően az egyenlőtlenség nem élesíthető.[/size]

[size=85][math]a,b,c.d\in\mathbb{R}^+,d\ge max\left(a,b,c\right)[/math][/size] [size=85]Igazoljuk, hogy [br][/size][size=85][math]a\left\langle2d-b\right\rangle+b\left(d-c\right)\sqrt{3}+2c\left\langle d\sqrt{3}-a\right\rangle\le2\sqrt{3}d^2![/math][/size][br][br][size=85]Tekintsük a következő appletet![br][/size]

[math]T_{ADF_{\Lambda}}+T_{CDE_{\Delta}}+T_{BEF_{\Delta}}+T_{DEF_{\Delta}}=T_{ABC_{\Delta}}[/math][br][size=85]Alkalmazzuk a háromszög [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Trigonometrikus_ter%C3%BCletk%C3%A9plet]trigonometrikus területképlet[/url]ét![br][math]\frac{a\left\langle2d-b\right\rangle sin30^\circ}{2}+\frac{b\left\langle d-c\right\rangle sin60^\circ}{2}+\frac{c\left\langle d\sqrt{3}-a\right\rangle}{2}\le\frac{d^2\sqrt{3}}{2}[/math][/size][br][size=85]Felhasználva a [url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/a-hegyesszogek-szogfuggvenyeire-vonatkozo-tetelek/nevezetes-szogfuggvenyertekek]nevezetes szögek szögfüggvényei[/url]t, [br][math]\frac{a\left\langle2d-b\right\rangle}{4}+\frac{b\left\langle d-c\right\rangle\sqrt{3}}{4}+\frac{c\left\langle d\sqrt{3}-a\right\rangle}{2}\le\frac{d^2\sqrt{3}}{2}[/math][/size][br][size=85]A kapott egyenlőtlenség két oldalát 4-gyel szorozva kapjuk a bizonyítandó állítást.[/size]

[size=85]Az előző problémához hasonlóan igazolható itt is, hogy az egyenlőtlenség nem élesíthető.[/size]

[size=85]Aki szeret új problémákat kitalálni, az más sokszögek választásával találhat új bizonyítandó egyenlőtlenségekre.[/size]