Divida um segmento de reta em partes iguais

1. Seja [math]\overline{AB}[/math] o segmento que desejamos dividir em três partes iguais.[br][br]2. Partindo do ponto [math]A[/math] vamos traçar uma reta transversal a [math]\overline{AB}[/math] e chamá-la de [math]s[/math].[br][br]3. Traçamos um círculo de raio [math]1[/math] e centro [math]A[/math] e marcamos o ponto [math]C[/math] na interseção desse círculo com a reta [math]s[/math].[br][br]4. Traçamos um círculo de raio [math]1[/math] e centro [math]C[/math] e marcamos o ponto [math]D[/math] na interseção do círculo com a reta [math]s[/math].[br][br]5. Traçamos um último círculo de raio [math]1[/math] e centro, marcando [math]E[/math] na interseção dele com a reta [math]s[/math].[br][br]6. Traçamos os segmento [math]\overline{EB}[/math] e chamamos de reta [math]m[/math].[br][br]7. Traçamos a reta [math]n[/math] paralela à [math]m[/math] passando por [math]D[/math] e marcamos [math]G[/math] a interseção da reta [math]m[/math] e [math]\overline{AB}[/math].[br][br]8. Traçamos a reta [math]o[/math] paralela à [math]m[/math] passando por [math]C[/math], e marcando [math]F[/math] a interseção da reta [math]o[/math] com [math]\overline{AB}[/math].[br][br]9. Dessa maneira temos que o segmento [math]\overline{AB}[/math] foi dividido em três partes iguais:[br][br][center][math]\overline{AF}[/math][math]=[/math][math]\overline{FG}[/math][math]=[/math][math]\overline{GB}[/math][/center]

Por se tratarem de retas paralelas ([math]m[/math], [math]n[/math] e [math]o[/math]) cortando a mesma reta [math]s[/math] e o mesmo segmento [math]\overline{AB}[/math], sabemos que os triângulos[math]\Delta ACF[/math], [math]\Delta ADG[/math] e [math]\Delta AEB[/math] são semelhantes pelo critério AA.[br][br]Como consequência da semelhança [math]\Delta ACF[/math][math]\sim[/math][math]\Delta ADG[/math] temos que:[br][br][center][math]\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AG}}[/math][/center]Mas como definimos o tamanho do raio em [math]1[/math], temos que:[br][br][center][math]\frac{1}{2}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AG}}[/math][br][/center][br]O que faz com que [math]\overline{AG}[/math][math]=[/math][math]2\cdot[/math][math]\overline{AF}[/math], ou seja [math]\overline{AF}[/math][math]=[/math][math]\overline{FG}[/math].[br][br]Pela semelhança [math]\Delta ACF[/math][math]\sim[/math][math]\Delta AEB[/math] temos que:[br][br][center][math]\frac{\overline{AC}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AB}}[/math][/center][br]Mas os raios foram definidos com medida [math]1[/math], logo:[br][br][center][math]\frac{1}{3}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AB}}[/math][/center][br]Fazendo com que [math]\overline{AB}[/math][math]=[/math][math]3\cdot[/math][math]\overline{AF}[/math], mas como já sabemos que [math]\overline{AB}=\overline{AF}+\overline{FG}+\overline{GB}[/math] e que [math]\overline{AF}=\overline{FG}[/math], concluímos que:[br][br][center][math]\overline{AF}=\overline{FG}=\overline{GB}[/math][/center]Sendo assim o segmento [math]\overline{AB}[/math] foi dividido em três partes iguais.

Mesma justificativa matemática.