Es conocido que los triángulos tienen multitud de centros diferentes: baricentro, circuncentro, incentro, ortocentro...[br][br]Sin embargo, para un polígono en general ¡incluso un cuadrilátero!, tan solo podemos definir el baricentro, su "centro de gravedad".[list][*]Pero, en ocasiones, hay algunos polígonos que están inscritos en una circunferencia, pues tienen todos sus vértices en ella. En ese caso, decimos el [b]circuncentro[/b] del polígono es el centro de esta circunferencia, y la circunferencia es [b]circunscrita[/b].[/*][*]Igualmente, puede ocurrir que una circunferencia esté [b]inscrita [/b]en el polígono, pues todos sus lados sean tangentes a ella. En ese caso, decimos que el [b]incentro[/b] del polígono es el centro de esta circunferencia.[br][/*][/list]En ocasiones muy especiales, ocurren estas dos cosas a la vez. A los polígonos que tienen circuncentro e incentro, se les denomina [b]bicéntricos. [/b]Todos los triángulos son bicéntricos, pero no todos los cuadriláteros, etc.[br]El matemático Poncelet demostró que, además, cuando esto ocurre, podemos recorrer la circunferencia circunscrita con una familia de estos polígonos bicéntricos (por eso, a esta propiedad se le denomina [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Porisma]porisma[/url]). [br][br]En la siguiente construcción puedes ver diferentes casos, desde 3 hasta 6 lados, y la animación nos muestra toda la familia correspondiente de polígonos.
Marcando la casilla [i]Incentro[/i] y modificando la posición del centro de esta circunferencia podemos comprobar que el radio depende de la distancia entre el circuncentro y el incentro.[br][list][*]De hecho, esta relación es la que se utiliza para construir polígonos bicéntricos.[/*][*]Más abajo, en las actividades de ampliación, podemos ver cómo se obtienen estos radios.[br][/*][/list]
[b][1][/b] Utiliza las herramientas de GeoGebra para[br][list=1][*]Construir un pentágono inscrito en la primera circunferencia.[/*][*]Construir un cuadrilátero circunscrito a la segunda.[/*][*]Mostrar que los polígonos que hemos construido [b]no[/b] son bicéntricos.[/*][*][b]Porfolio[/b]: escribe unas breves indicaciones sobre cómo has hecho las construcciones (herramientas GeoGebra utilizadas, proceso seguido, si has encontrado alguna difucultad...).[br][/*][/list]
[b][2][/b] Las dos circunferencias del siguiente applet están construidas para que podamos implementar el porisma de Poncelet. Como en el applet inicial, podemos modificar la posición del incentro.[br][list][*]Fíjate en que se ofrece un intento de solución incorrecto, porque el polígono está inscrito en la circunferencia marrón, pero sus lados no son tangentes a la circunferencia azul. Indica qué es lo que ha podido fallar al hacer ese intento de construcción.[br][/*][*]Borra [icon]/images/ggb/toolbar/mode_delete.png[/icon] ese polígono incorrecto y haz la construcción correcta. [br][i][b]¡Ojo![/b][/i] Debe ser una construcción: al mover los puntos, el polígono resultante debe seguir siendo bicéntrico.[br][/*][*]¿Para cuántos lados están construidas las circunferencias?[/*][*]Mientras resuelves el ejercicio, comprueba que solo sirve para ese número de lados.[/*][*][b]Porfolio[/b]: escribe algunas indicaciones sobre el proceso que has seguido.[br][/*][/list](*) Puedes marcar la casilla [i]Solución[/i] para comprobar qué debe ocurrir.
[b][3][/b] Utilizando la capacidad de GeoGebra para resolver ecuaciones, y así calcular el inradio, ¿te atreves a hacer la construcción desde cero? Por ejemplo, para 4 o 5 lados.[br]Por comodidad, puedes hacer como en el applet inicial. Dejar fijo el radio de la circunferencia circunscrita, y restringir el incentro a que se sitúe sobre un diámetro de la circunferencia circunscrita.[br][br][list][*]Más abajo tenemos las correspondientes expresiones de los radios, que debemos utilizar para resolver la actividad.[br][/*][*]Sube la actividad a la web de GeoGebra y pega el enlace a continuación.[br][/*][*][b]Porfolio[/b]: incluye, tras el enlace, algunas indicaciones sobre el proceso seguido.[/*][/list]
Para resolver esta actividad, necesitaremos saber la relación entre los radios de las circunferencias.[br][list][*]La fórmula general que relaciona la distancia entre los centros y el radio de la circunferencia inscrita para cualquier número de lados, es muy complicada. De hecho, se necesitan funciones elípticas, que no son elementales.[/*][*]Sin embargo, para los primeros casos, las expresiones se simplifican.[/*][*]A continuación tenemos las expresiones para esos primeros casos, de donde se puede despejar (podemos usar las herramientas de GeoGebra) el valor del inradio [i]r[/i] en función del circunradio [i]R[/i].[br][/*][/list][br]Los primeros casos son: [size=85](*) denotamos [br] d=distancia entre los centros, [br] R=radio de la circunferencia circunscrita "circunradio", [br] r=radio de la circunferencia inscrita "inradio".[/size][br][br][b]Triángulo[/b][br][math]r = \frac{R² - d²}{2R}[/math]. Esta fórmula también se conoce como [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_geom%C3%A9trico_de_Euler]Teorema geométrico de Euler[/url].[br][b]Cuadrilátero[/b][br][math]2r^2=\frac{(R² - d²)² }{R² + d²}[/math], [br]de donde se puede despejar fácilmente el valor de [math]r[/math][br][b]Pentágono[/b][br][math]\left(\frac{1}{R+d} + \frac{1}{R-d} +\frac{1}{r}\right)^3 =4 \left(\left(\frac{1}{R+d}\right)³ + \left(\frac{1}{R-d}\right)^3 + \left(\frac{1}{r}\right)^3\right)[/math],[br]de donde podemos despejar dos posibles valores de [math]r[/math] (uno positivo y otro negativo), que nos dan los correspondientes polígonos convexo y estrellado. Utilizaremos los valores absolutos.[br][b]Hexágono[/b][br][math]3 (R^2 - d^2)^4 = 4r^2 (R^2 + d^2) (R^2 - d^2)^2 + 16r^4 d^2 R^2[/math],[br]de donde podemos despejar el valor de [math]r[/math].[br]
[list][*]En esta [url=https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html]página de Wolfram[/url] podemos ver las expresiones que relacionan los radios, y algunas explicaciones más detalladas. [/*][*]En esta [url=https://personal.us.es/rbarroso/rbarroso/trianguloscabri/sol/sol182ped.htm]página de Ricardo Barroso[/url] tenemos una demostración del caso general para cualquier tipo de cónica, no necesariamente circunferencias.[/*][/list]