[size=200][color=#3d85c6]Iglesia San Sebastian de los Reyes in Madrid[br][/color][/size]Die Konstruktion stammt von [url=https://www.geogebra.org/u/ezq]https://www.geogebra.org/u/ezq[br][/url]Architekt Ramón Fernández-Alonso 

Die Darstellung der Kirche ist (schätzungsweise) in einem Maßstab von 1:5 ausgeführt. Alle Maßangaben der Punkte sollten deshalb mit 5 multipliziert werden, wenn man Längenangaben in Meter erhalten möchte.

[b][size=150][color=#ff0000]Berechnen Sie die Flächeninhalte der dargestellten Dreiecke![br][br][/color][size=100]Zur Kontrolle:[br][/size][/size][/b][color=#f1c232]Das gelbe Dreieck hat einen Flächeninhalt von ca[/color]. [math]139,99m^2[/math][br][color=#1155cc]Das blaue Dreieck hat einen Flächeninhalt von ca. [/color][math]93,77m^2[/math][br][color=#ff00ff]Das pinke Dreieck hat einen Flächeninhalt von ca[/color]. [math]147,37m^2[/math]

Zunächst entnimmt man die Koordinaten der Punkte B,C und O aus der Zeichnung und man legt Ortsvektoren für die drei Punkte fest:[br][math]B \, := \, \left(\frac{-91}{4}, -10, 10 \right) \\ C \, := \, \left(\frac{-71}{4}, -10, \frac{17}{2} \right) \\ O \, := \, \left(5, 0, 15 \right) \\ b \, := \, \left( \begin{align}\frac{-91}{4} \\ -10 \\ 10 \end{align} \right) \\ c \, := \, \left( \begin{align}\frac{-71}{4} \\ -10 \\ \frac{17}{2} \end{align} \right) \\ o \, := \, \left( \begin{align}5 \\ 0 \\ 15 \end{align} \right)[/math][math][/math][br][br]Jetzt wählt man eine Seite als Grundseite des Dreiecks. Ich entscheide mich hier für die Strecke [math]\overline{BC}[/math].[br]Die Länge der Grundseite ist dann:[br][math]g \, := \, \left|b - c\right| \\ \frac{1}{2} \; \sqrt{109}[/math][br]Der Richtungsvektor der Geraden durch B und C ist[br][math]r \, := \, b - c = \left( \begin{align}-5 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \end{align} \right)[/math][br]Jetzt muss mein eine Gerade finden, die[br][list][*]senkrecht zur Gerade durch B und C ist[/*][*]durch den Punkt O verläuft[/*][*]und die Gerade durch B und C schneidet.[/*][/list][br]Der Richtungsvektor dieser Gerade ist ein Normalenvektor zur Gerade durch A und B. Das Skalarprodukt des Richtungsvektors r und des Normalenvektors n muss also 0 sein.[br][br][math]n \, := \, \left( \begin{align}nx \\ ny \\ nz \end{align} \right) \\ -5 \; nx + \frac{3}{2} \; nz = 0[/math][br][br]Wenn man die Länge des Normalenvektors nicht vorgibt, erhält man unendlich viele Lösungen. Legt man von Beginn an, eine Länge fest, so erhält man nur zwei mögliche Normalenvektoren. Ich wähle die Länge 1. (Man kann aber jede beliebige, positive Länge wählen.)[br][br][math]n^{2} = 1 \\ nx^{2} + ny^{2} + nz^{2} = 1[/math][br][br]Wenn die Gerade durch B und C und die dazu senkrechte Gerade durch O mit Richtungsvektor n sich schneiden sollen, dann muss gelten:[br][br][math]o + λ \; n - \left(c + r \; μ \right) =\vec{0} \\ \left( \begin{align}nx \; λ + 5 \; μ + \frac{91}{4} \\ ny \; λ + 10 \\ nz \; λ - \frac{3}{2} \; μ + \frac{13}{2} \end{align} \right)=\left( \begin{align} 0 \\ 0 \\ 0 \end{align} \right)[/math][br][br]Man hat also ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen für zwei Variablen [math]\lambda[/math] und [math]\mu[/math]. Das kann nur unter bestimmten Bedingungen eindeutig gelöst werden:[br][br][math]nx \; λ + 5 \; μ + \frac{91}{4} = 0 \\ ny \; λ + 10 = 0 \\ nz \; λ - \frac{3}{2} \; μ + \frac{13}{2} = 0[/math][br][br]Zunächst löst man nur die ersten beiden Gleichungen auf:[br][br][math] \lambda = \frac{-10}{ny}, \mu = \frac{40 \; nx - 91 \; ny}{20 \; ny} [/math][br][br]Setzt man diese Lösung nun in die dritte Gleichung des Gleichungssystem ein, so erhält man:[br][br][math]-10 \cdot \frac{nz}{ny} - \frac{3}{2} \cdot \frac{40 \; nx - 91 \; ny}{20 \; ny} + \frac{13}{2} = 0 \\ \frac{-120 \; nx + 533 \; ny - 400 \; nz}{40 \; ny} = 0[/math][br][br]Jetzt gibt es insgesamt drei Gleichungen zur Bestimmung der Komponenten des Vektors n:[br][br][math]\left|-5 \; nx + \frac{3}{2} \; nz = 0 \\ nx^{2} + ny^{2} + nz^{2} = 1 \\ \frac{-120 \; nx + 533 \; ny - 400 \; nz}{40 \; ny} = 0\right|[/math][br][br]Da es sich um ein quadratisches Gleichungssystem handelt, findet man zwei mögliche Normalenvektoren. Beide Lösungen sind als Richtungsvektor der gesuchten Geraden geeignet. Man kann sich deshalb eine Lösung aussuchen:[br][br][math] nx = 1599 \cdot \frac{\sqrt{49975301}}{49975301}, ny = 40 \cdot \frac{\sqrt{49975301}}{458489}, nz = 5330 \cdot \frac{\sqrt{49975301}}{49975301} \\ nx = -1599 \cdot \frac{\sqrt{49975301}}{49975301}, ny = -40 \cdot \frac{\sqrt{49975301}}{458489}, nz = -5330 \cdot \frac{\sqrt{49975301}}{49975301} [/math][br][br]Ich wähle die erste Lösung. Deshalb ist der Normalenvektor jetzt:[br][br][math]n \, := \, \left( \begin{align}\frac{1599}{49975301} \; \sqrt{49975301} \\ \frac{40}{458489} \; \sqrt{49975301} \\ \frac{5330}{49975301} \; \sqrt{49975301} \end{align} \right)[/math][br][br]Nun kann man endlich den Schnittpunkt bestimmen, indem man die beiden Geradengleichungen gleichsetzt:[br][br][math]o+\lambda\cdot n=c+\mu\cdot r[/math][br][br]Das liefert das folgende lineare Gleichungssystem:[br][br][math]\left| \frac{1599}{49975301} \; \sqrt{49975301} \; λ + 5 \; μ + \frac{91}{4} = 0 \\ \frac{40}{458489} \; \sqrt{49975301} \; λ + 10 = 0 \\ \frac{5330}{49975301} \; \sqrt{49975301} \; λ - \frac{3}{2} \; μ + \frac{13}{2} = 0 \right|[/math][br][br]Löst man die ersten beiden Gleichungen, so erhält man:[br][br][math]\lambda=\frac{-\sqrt{49975301}}{436},\mu=\frac{-416}{109}[/math][br][br]Setzt man diese Lösung in die dritte Gleichung ein, so erhält man [math]0=0[/math]. Die Rechnung ist also bis zu dieser Stelle korrekt.[br][br]Jetzt kann man die Lösungen in die Geradengleichungen einsetzen und man erhält bei beiden Geraden den Ortsvektor des Schnittpunktes.[br][br][math]s_1=o+ \frac{-\sqrt{49975301}}{436} \cdot n = \, \left( \begin{align}\frac{581}{436} \\ -10 \\ \frac{605}{218} \end{align} \right)[/math][br]oder[br][math]s_2=c+ \frac{-416}{109} \cdot n= \, \left( \begin{align}\frac{581}{436} \\ -10 \\ \frac{605}{218} \end{align} \right)[/math][br][br]Der Schnittpunkt ist also:[br][math]S \, := \, \left(\frac{581}{436}, -10, \frac{605}{218} \right)[/math][br][br]Der Abstand der Punkt O und S entspricht der Höhe des Dreiecks:[br][br][math]hoehe \, := \, \left|s_1 - o\right| = \frac{1}{436} \; \sqrt{49975301}[/math][br][br]Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks:[br][br][math]Flächeninhalt_Δ \, := \, \frac{1}{2} \; g \; hoehe \\ \frac{1}{16} \; \sqrt{458489} \\ 42.3199[/math][br][br]Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von ca. [math]42,32m^2[/math][br][br]