Completar quadrados é uma técnica utilizada para escrever expressões do segundo grau na forma [math](x+a)^2+b[/math]. [br][br]Essa forma vai nos facilitar [e muito] no nosso curso de GA. [br][br]Os conceitos usados aqui serão utilizados para achar as formas padrões de equações do círculo, parábolas, hipérboles e elipses.[br][br]Lembre-se de que a forma por extenso de [math](x+a)^2[/math] é [math]x^2+2ax+a^2[/math]. [br][br]Vamos começar com um pequeno exemplo:[br][br]Na equação [math]x^2+8x=-5[/math] podemos completar o quadrado ao adicionar o termo "+16" em ambos os lados da equação:[br][br][math]x^2+8x+16=-5+16[/math][br][br]Agora temos um produto notável do lado esquerdo da equação, que pode ser reescrito como:[br][br][math](x+4)^2=11[/math][br][br]Ou ainda como:[br][br][math](x+4)^2-11=0[/math][br]

[br]Agora, vamos tentar completar o quadrado com uma expressão um pouquinho mais complicada. [br][br]O coeficiente de [math]x[/math] é diferente de [math]1[/math]. [br][br]Exemplo:[br][br][math]16x^2+40x+\square[/math][br][br]Como o coeficiente de [math]x^2[/math] é diferente de [math]1[/math], vamos transformar esta expressão em outra, da forma [math](ax+b)^2[/math].[br][br]O coeficiente de [math]x^2[/math] é igual a [math]16[/math], portanto o valor de [math]a^2=16[/math], simplificando temos [math]a=4[/math].[br][br]O termo "[math]40x[/math]" equivale ao termo "[math]2abx[/math]" na expansão de [math](ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2[/math][br][br]Sabendo o valor de [math]a[/math], podemos calcular [math]b[/math]:[br][br][math]40x=2(4)bx\quad\implies\quad40x=8bx\quad\implies\quad40=8b\quad\implies\quad b=5[/math][br][br]O termo que completa o quadrado na expressão acima é [math]b^2=5^2=25[/math].[br][br]A expressão vai ficar[br][br][math]16x^2 + 40x + 25 - 25[/math][br][br]que é igual a[br][br][math](4x + 5)^2 - 25[/math][br][br][b]Dica:[br][/b][br]Não tente resolver tudo de cabeça, use um lápis e um pedaço de papel.

[br]Outra maneira possível de completar o quadrado de [br][br][math]16x^2+40x+\square[/math][br][br]é colocar o [math]16[/math] em evidência para fazer com que o coeficiente do [math]x[/math] (dentro dos parênteses) fique igual a [math]1[/math]:[br][br][math]16x^2+40x+\square \quad=\quad 16\left(x^2 + \frac{40}{16}x\right) + \square \quad=\quad 16\left(x^2 + \frac{5}{2}x\right) + \square[/math][br][br]Não tenha medo de frações.[br][br]Agora, complete o quadrado dentro dos parênteses:[br][br][math]\frac52x = 2bx \quad \implies\quad \frac52 = 2b \quad\implies\quad b = \frac54[/math][br][br]O termo que completa o quadrado é [math]\left(\frac54\right)^2 = \frac{25}{16}[/math].[br][br]Agora, atenção: tudo que está entre parênteses está multiplicado por [math]16[/math]; então você deve subtrair (fora dos parênteses) [math]16 \cdot \frac{25}{16}[/math]:[br][br][math]16\left(x^2 + \frac{5}{4}x + \frac{25}{16}\right) - 16 \cdot \frac{25}{16}\[/math][br][br]Tudo isto vai simplificar para[br][br][math]16\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - 25\[/math][br][br]Verifique que esta expressão é igual ao resultado do exemplo anterior: [math](4x + 5)^2 - 25[/math][br][br][br]

Use qualquer uma das duas estratégias para completar os quadrados abaixo.[br][br]Lembre-se de que[br][br][math](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/math][br][br]e de que[br][br][math](a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/math] (com subtração em vez de adição).[br][br]