[color=#ff0000][size=100][size=150]LA FUNZIONE DERIVATA[br][/size][/size][/color]Data una funzione, ad esempio [math]\large{y=f(x)=3x^2}[/math] posso calcolarne la derivata per vari valori di [math]\large{x}[/math], ad esempio:[br][br][math]\large{f'(\textcolor{blue}{1})=\lim_{h\to 0}\frac{3\textcolor{red}{(\textcolor{blue}{1}+h)}^2-3\textcolor{red}{(\textcolor{blue}{1})}^2}{h}=\cdots\mbox{ un po' di conti }\cdots=6}[/math][br][math]\large{f'(\textcolor{blue}{3})=\lim_{h\to 0}\frac{3\textcolor{red}{(\textcolor{blue}{3}+h)}^2-3\textcolor{red}{(\textcolor{blue}{3})}^2}{h}=\cdots=18}[/math][br][math]\large{f'(\textcolor{blue}{-2})=\lim_{h\to 0}\frac{3\textcolor{red}{(\textcolor{blue}{-2}+h)}^2-3\textcolor{red}{(\textcolor{blue}{-2})}^2}{h}=\cdots=-12}[/math][br][br]di fatto [b]abbiamo creato una nuova funzione, che dato un valore di [math]\large{x}[/math] ci permette di calcolare la velocità con cui il risultato di [math]\large{f(x)}[/math] sta cambiando in corrispondenza di quel valore di [math]\large{x}[/math][/b]. [br][br]Alla funzione [math]\large{y=f(x)}[/math], che dato un qualsiasi valore [math]\large{x^*}[/math] associa un determinato risultato [math]\large{f(x^*)}[/math], possiamo associare [color=#ff0000]una funzione derivata [da essa] che dato un qualsiasi valore [math]\large{x^*}[/math] restituisce la velocità [math]\large{f'(x^*)}[/math]con cui il risultato della funzione "principale" [math]\large{y=f(x)}[/math] sta cambiando in corrispondenza di quell'input[/color].

[color=#ff0000][size=150]LE NOTAZIONI PER INDICARE LA FUNZIONE DERIVATA[br][/size][/color]Il modo più sintetico per indicare la [color=#ff0000]funzione derivata[/color] della funzione [math]\large{y=f(x)}[/math] è [math]\large{\textcolor{red}{y=f'(x)}}[/math], che si legge "f primo di x" (e che fa intuire che ci sarà anche una derivate seconda, terza... ma di questo ce ne occuperemo più avanti).[br][br]Impareremo a calcolare in modo rapido l'espressione della funzione derivata, e per fare questo è comodo utilizzare anche altre notazioni. Vediamole in forma generale e con un esempio[br][br][table][tr][td][/td][td]formato 1[/td][td]formato 2[/td][td]formato 3[/td][/tr][tr][td]caso generale: la derivata [br]della funzione [math]\large{y=f(x)}[/math] si indica...[/td][td][math]\large{f\textcolor{red}{'}(x)}[/math][/td][td][math]\large{\textcolor{red}{D[}f(x)\textcolor{red}{]}}[/math][/td][td][math]\large{\textcolor{red}{\frac{d\textcolor{black}{f(x)}}{dx}}\mbox{, anche abbreviato in }\textcolor{red}{\frac{d\textcolor{black}{f}}{dx}}\mbox{, oppure }\frac{dy}{dx}}[/math][/td][/tr][tr][td]esempio con [math]\large{f(x)=3x^2}[/math]: la sua derivata si indica con...[/td][td][i]formato non utilizzabile[/i][/td][td][math]\large{\textcolor{red}{D[\textcolor{black}{3x^2}]}}[/math][/td][td][math]\large{\textcolor{red}{\frac{d\textcolor{black}{\ 3x^2}}{dx}}\mbox{, per chiarezza si possono usare parentesi}\frac{\textcolor{red}{d(\textcolor{black}{3x^2})}}{dx}}[/math][/td][/tr][/table][br][br][b]Nota[/b]: la scrittura [math]\large{\frac{dy}{dx} \left ( \mbox{o }\large{\frac{df}{dx}}\right )}[/math] proviene dall’idea che la derivata è il limite di [math]\large{\frac{\Delta y}{\Delta x}}[/math]per [math]\large{\Delta x}[/math] che tende a zero, cioè che diventa estremamente piccolo ([b]infinitesimo[/b]). Per indicare che una variazione finita (finita=definita, nè infinita nè infinitesima) [math]\large{\Delta x}[/math] tende a 0, e quindi ad una variazione infinitesima, il suo simbolo viene sostituito da [math]\large{dx}[/math] (ricorda che [math]\large{\Delta}[/math] è la lettera greca Delta che è la corrispondente della "D" maiuscola latina, quindi in un certo senso ad una D maiuscola ne viene sostuita una minuscola). [br][br][math]\large{\textcolor{red}{f'(x)}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \textcolor{red}{\frac{dy}{dx}} \mbox{ oppure } \textcolor{red}{\frac{df}{dx}}}[/math][br][br]Il simbolo [math]\large{dx}[/math] viene detto un [b]infinitesimo[/b] della variabile [math]\large{x}[/math] ed indica appunto una variazione infinitesima di questa variabile. Diventerà particolarmente importante più avanti, quando affronteremo un altro capitolo dell'analisi (l'integrazione).

[color=#ff0000][size=150]VISUALIZZARE LA FUNZIONE DERIVATA[/size][/color][br]Puoi usare lo strumento qui sotto per visualizzare il valore della derivata in ogni valore di [math]\large{x}[/math].[br][br][b]NEL RIQUADRO A SINISTRA[/b] vedi [color=#6aa84f][b]la funzione che stiamo studiando[/b][/color] e la [b][color=#9900ff]retta che è tangente alla funzione[/color][/b] nel [b][color=#00ff00]punto verde chiaro[/color][/b]: (la cui [color=#0000ff][b]x è indicata in blu[/b][/color]): [color=#ff0000][b]il coefficiente angolare della retta[/b][/color] è il valore della derivata per quel valore di [math]\large{x}[/math].[br][br][b]NEL RIQUADRO A DESTRA[/b] per ogni valore di [math]\large{x}[/math] viene mostrata sulle [math]\large{y}[/math] il corrispondente valore della derivata.[br][br][list][*][color=#00ff00][b]trascina il punto verde chiaro[/b][/color][color=#ff0000] [/color]per vedere come cambia la derivata[/*][*][b]usa l'interruttore nero[/b] per attivare il tracciamento dei valori della derivata[/*][*][color=#0000ff][b]usa l'interruttore blu[/b][/color] per vedere l'intero grafico della derivata (l'insieme dei valori che assume)[/*][*]scrivi nella barra di inserimento "[math]\large{f(x)=nuova\ funzione}[/math]" (ad esempio "[math]\large{f(x)=\sin x}[/math]") per cambiare la funzione da studiare[/*][*]è consigliato mettere lo strumento a schermo intero premendo sul tasto in basso a destra[/*][*]puoi muovere le viste e cambiarne lo zoom trascinando ed usando la rotella del mouse[/*][*]puoi resettare tutto e ripartire da capo premendo sulle due frecce in circolo[br][br] [br][br][/*][/list]