Quadratische Funktionen
Table of Contents
- Einführung
- Einführung
- Die Parameter e und d
- Der Parameter e
- Der Parameter d
- Gemischte Aufgaben - Teil 1
- Der Parameter a
- Der Parameter a - Teil 1
- Der Parameter a - Teil 2
- Der Parameter a - Teil 3
- Gemischte Aufgaben - Teil 2
- Die Scheitelpunktform
- Hefteintrag
Einführung
[justify]Wir haben quadratische Funktionen kennengelernt und wissen auch, wie deren Graphen aussehen können. Nun wollen wir herausfinden, welche Veränderungen des Funktionsterms welchen Einfluss auf ihren Graphen hat und umgekehrt. [/justify][justify]Ausgangspunkt ist zunächst immer Funktion f mit [b]f(x) = x[sup]2[/sup][/b] und ihrem Graphen, die [b]Normalparabel[/b].[/justify]
Der Parameter e
[justify]Im folgenden betrachten wir die Funktionen g mit g(x) = [b]x[sup]2[/sup] + e[/b], e[math]\in\mathbb{R}[/math]sowie deren Graphen. Als Vergleich ist immer der Graph der Normalparabel eingezeichnet. [/justify]
Term & Graph
[justify][size=200][/size]Nutze den Schieberegler um dir die verschiedene Graphen der angegebenen Funktionsterme anzeigen zu lassen. Überlege dir, wie der Parameter e die Normalparabel verändert.[br]g[sub]1[/sub](x) = x[sup]2[/sup] + 0,5 g[sub]2[/sub](x) = x[sup]2[/sup] + 2 g[sub]3[/sub](x) = x[sup]2[/sup] + 3 g[sub]4[/sub](x) = x[sup]2[/sup] - 0,5 g[sub]5[/sub](x) = x[sup]2[/sup] - 1 g[sub]6[/sub](x) = x[sup]2[/sup] - 3[/justify]
Ergänze die Lücken zu einer sinnvollen Aussage
[justify][size=200][/size]Sicher kannst du jetzt – auch ohne das Applet – den Graphen der Funktion g mit [b]g[sub]7[/sub](x) = x[sup]2[/sup] + 3,25[/b] beschreiben.[/justify]
Der Graph von g[sub]7[/sub] hat die gleiche Form wie die ______________________________.
Er ist gegenüber dem Graphen von f mit f(x) = x[sup]2[/sup] um ___________________ verschoben.
Das ist auch ganz logisch, denn wenn man einen Funktionswert von x[sup]2[/sup] + 3,25 berechnet, muss man zu dem Wert, der sich aus f(x) = x[sup]2[/sup] ergibt, _______________________________.
Der Scheitel der Parabel zur Funktion g[sub]7[/sub] hat die Koordinaten ( __ | __ ).
Nullstellen
[justify][size=200][/size]Mithilfe des Schiebereglers lässt sich erkennen, dass die Graphen von g[sub]1[/sub], g[sub]2[/sub] und g[sub]3[/sub] die x-Achse nicht schneiden; die drei Funktionen haben also keine Nullstellen. Die Graphen von g[sub]4[/sub], g[sub]5[/sub] und g[sub]6[/sub] schneiden die x-Achse jeweils zweimal; die drei Funktionen haben also jeweils zwei Nullstellen.[/justify]
[justify]Stelle eine Gleichung auf, mit deren Hilfe man rechnerisch die Nullstellen von g[sub]1[/sub] berechnen kann. Forme die Gleichung anschließend so um, dass man erkennen kann, dass g[sub]1[/sub] keine Nullstellen besitzen kann (Du kannst dies auch auf einem Schmierblatt machen).[/justify]
[justify]Stelle eine Gleichung auf, mit deren Hilfe man rechnerisch die Nullstellen von g[sub]5[/sub] berechnen kann. Forme die Gleichung anschließend so um, dass man erkennen kann, dass g[sub]5[/sub] zwei Nullstellen besitzt (Du kannst dies auch auf einem Schmierblatt machen).[/justify]
Der Parameter a - Teil 1
[justify]Im folgenden betrachten wir die Funktionen g mit g(x) = [b]ax[sup]2[/sup][/b], a [math]\in\mathbb{R}[/math]\{0} sowie deren Graphen. Als Vergleich ist immer der Graph der Normalparabel eingezeichnet. [/justify]
Term & Graph
[justify][size=200][/size]Nutze den Schieberegler um dir die verschiedene Graphen der angegebenen Funktionsterme anzeigen zu lassen. Überlege dir, wie der Parameter a die Normalparabel verändert.[br]g[sub]1[/sub](x) = 1,5x[sup]2[/sup] g[sub]2[/sub](x) = 2x[sup]2[/sup] g[sub]3[/sub](x) = 3x[sup]2[/sup][/justify]
Ergänze die Lücken zu einer sinnvollen Aussage
[justify][size=200][/size]Sicher kannst du jetzt – auch ohne das Applet – den Graphen der Funktion g mit [b]g[sub]4[/sub](x) = 7x[sup]2[/sup][/b] beschreiben.[/justify]
Der Graph von g[sub]4[/sub] hat seinen Scheitel – ebenso wie der Graph von f – im Punkt (___ | ___).
Der Graph von g[sub]4[/sub] ist jedoch _____________ als der Graph von f.
[justify]Das kann man so erklären: Geht man vom Scheitel der [u]Normalparabel[/u] aus 1 Einheit nach rechts, so muss man anschließend ___ Einheit nach oben gehen, um wieder einen Punkt der [u]Normalparabel[/u] zu erreichen.[/justify]
[justify]Geht man dagegen vom Scheitel des Graphen von g[sub]4[/sub] aus 1 Einheit nach rechts, so muss man anschließend ___ Einheiten nach oben gehen, um wieder einen Punkt des Graphen von g[sub]4[/sub] zu erreichen.[/justify]
[justify]Der Parameter a darf nie den Wert ___ annehmen.[/justify]
Parameter a ablesen
[justify][size=200][/size][size=200][/size]Den Parameter a einer quadratischen Funktion kann man eventuell am Graphen ablesen. [/justify]
[justify]Gib den Funktionsterm zum oben abgebildeten Graphen an.[/justify]
[justify]Gib den Funktionsterm zum oben abgebildeten Graphen an.[/justify]
[justify]Gib den Funktionsterm zum oben abgebildeten Graphen an.[/justify]
Hefteintrag
Die Scheitelpunktform
Jeder Term der Form [b]a(x - d)[/b][math]^2[/math][b]+ e[/b] heißt [b]Scheitelpunktform[/b]. Der Graph ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten S(d | e). Die Parameter a, d und e verändern die Normalparabel wie folgt:[br][list][*][b]e verschiebt[/b] die Parabel [b]nach oben / in positive y-Richtung[/b] (e > 0) oder [b]nach unten / in negative y-Richtung[/b] (e < 0)[/*][*][b]d verschiebt[/b] die Parabel [b]nach rechts / in positiver x-Richtung[/b] (d > 0) oder [b]nach links / in negativer x-Richtung[/b] (d < 0)[/*][*][b]a[/b] macht die Parabel [b]enger / streckt sie in y-Richtung [/b](|a| > 1) oder [b]weiter / staucht sie in y-Richtung[/b] (|a| < 1) als die Normalparabel[/*][*][b]a öffnet[/b] die Parabel [b]nach oben[/b] (a > 0) oder [b]nach unten[/b] (a < 0)[/*][/list]