今回は「ジョルダン標準化の手順」です。[br][br]その前に、固有空間つまり固有箱について見てみよう。[br][br][b][size=150]＜固有値ごとに固有箱がある＞[br][/size][/b]変換Aをｘにしてもｘの定数倍になるとき、[br]つまり、[br][b][size=200][color=#0000ff]Ax=tx[br][/color][/size][/b]のtを固有値、０でないｘを固有ベクトルと言ったのでした。[br]言い換えると[br]連立方程式（A-tE)x=Oが非自明解ｘを持つことでしたね。[br][br]この係数行列をA-tE=B_tとすると、[br][b]B_tx=0となる解ｘの空間、箱[/b]を[br][b]固有箱（固有空間）[/b]と言うのです。[br][br]全空間をVとしたら、固有箱は固有値ｔにちなんでV(t)と書きます。[br]このとき[br]次元公式から、[br][b][size=200][color=#0000ff]dimV(t)=n-rankB_t[br][/color][/size][/b]ができます。[br][br]係数行列Bのランクがnを削った残りが、固有箱の次元dimV(t)になるのですね。[br]もしも固有方程式の解が２つ以上あれば、それぞれの固有値に対して[br]固有箱ができるということだね。[br][br]たとえば、n=3で、固有値t=1,2,2だとしよう。[br]t=1ではrankB_1=2だとしたら、dimV(1)=3-2=1。だから、V(1)の固有ベクトルは１つだけ。[br]t=2ではrankB_1=1だとしたら、dimV(2)=3-1=2。だから、V(2)の固有ベクトルは２つある。[br]このように、[br][b]固有値の重複度とrankBは一致しない[/b]ので、係数行列B＝A-tEを掃き出し法などで丁寧に調べてみないといけないね。[br][br][b][size=150]＜固有箱の入れ子と広義固有箱＞[br][/size][/b][br]B_t=A-tEとするとき、B_tx=0の解ｘの空間が固有箱V(t)だったね。[br]ここで、[br]B_t^j x=0の解ｘの空間を[b]広義固有箱W_j(t)[/b]という。[br]すると、箱の入れ子ができるのです。[br][br][b][size=200][color=#0000ff]V(t)=W_1(t)⊂W_2(t)⊂W_3(t)......。[br][/color][/size][/b][br]真部分になると、次元が上昇するためいつか、数体の次元と同じになる。広義固有箱の入れ子の一番小さい箱がふつうの固有箱。[br]広義固有箱の系列の次元が上がっていくと、[br]それに対応して、係数行列Bのランクは下がっていくということだ。[br][br][b]＜固有値と直和分解＞[br][/b][br]Aの固有多項式が[br][br][b]φ_A(t)=(t-t_1)^{n_1}(t-t_2)^{n_2}.....(t-t_r)^(n_r)[br][/b][br]と因数分解して指数表現にかけるなら、[br]空間全体は広義固有箱に直和分解できます。[br][br][b]V=W(t_1)⊕W(t_2)⊕.......⊕W(t_r)[br][/b][br]Aは適当な正則行列Pで[br][b]P^(-1)AP={[A1...],[.A2...]...[...Ar]}[br]と[br][/b]ｒ個の小正方行列に直和分解できて、[br]その小正方行列Aiの固有多項式は(t-t_r)^{n_r}だ。

[b]標準化の手順[br][/b][br]どんな行列Aでも[br]Pをみつけて、Aと相似な行列[b]D=P^{-1}AP[/b]を求め、[br]Dが[b]ジョルダン標準形J[/b]になるようにする[br][color=#0000ff][b][size=150]「標準化」の手順[/size][/b][/color]を見ていこう。[br][br]標準化の方法は主に２つあります。[br][b][size=150]固有方程式を解いて固有値tを求めたあと[br][/size][/b]どうするか？[br][br][color=#0000ff][b][size=150]・tごとJBの個数と次数からJを求めて、変換行列Pを求める方法。[br]・tごとの固有箱の入れ子と次元からPを求めてからJを求める方法。[br][/size][/b][/color][br]それの合わせ技もOKだ。[br][br][b][size=150]＜先にJを出してからPを出す手順はこうだ＞[br][/size][/b][size=150][b][br](1) Aの固有値t[br](2) 係数行列B_t=A-tEn[br](3) 係数行列のランクr=rankB_t[br](4) tに対するJB（ジョルダンブロック）の個数n-r[br](5) tに対するJBの最大次数k（rankB^k=0となる）[br](6) 必要があれば、j次のJBの個数を公式で確認する。[br]　(mj=rankB^{j+1}-2rankB^j+rankB^{j-1}を使う。)[br](7) 以上から、ジョルダン標準形Jを確定する。[br](8) AP=PJつまり、J=P^(-1)APとなる変換行列Pを求める。[br][/b][br][/size][b]A＝{{4,1,1},{-1,2,-1},{0,0,3}}のとき[br]geogebraのtexでかくと[br][math]A＝\left(\begin{matrix}4,1,1\\-1,2,-1\\0,0,3\end{matrix}\right)[/math][br][br][/b](1) 固有方程式φ(x)=|A-tE3|=....=(t-3)^3＝０から、[br]　Aの固有値t=3,3,3(対角成分）[br](2) B=A-3E3={{1,1,1},{-1,-1,-1},{0,0,0}}[br][b]geogebraのtexでかくと[br][/b][math]B=A-3E_3=\left(\begin{matrix}1,1,1\\-1,-1,-1\\0,0,0\end{matrix}\right)[/math][br][br](3) r=rankB=1[br](4) JBの個数はn-r=3-1=2個。[br](5) B^2=Оとなるから、 rankB^2=0。[br]だから、JBの最大次数k=2[br](6)(4)(5)からJは次数2のJBと次数1のJBで直和分解の形になる。[br](7)入れ替えできるけど、とりあえずJB1={{3,1},{0,3}},JB2={{3}}[br] [b] J=P^(-1)AP={{3,1,0},{0,3,0},{0,0,3}}[br]geogebraのtexでかくと[br][/b][math]J=P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}3,1,0\\0,3,0\\0,0,3\end{matrix}\right)[/math][br](8)変換行列を一次独立なベクトルp1,p2,p3を使ってP＝{p1,p2,p3}と書くとAP=PJから[br] Ap1=3p1,Ap2=p1+3p2,Ap3=3p3[br]B=A-3E3を使って、[br]Bp1=0,[br]Bp2=p1,[br]Bp3=0と３つの方程式ができた。[br]一般にBx=bが解けるためには,b=t{b1,b2,b3]とおくと、[br]拡大係数行列[B|b]={{1,1,1,b1},{-1,-1,-1,b2},{0,0,0,b3}}[br][b]geogebraのtexでかくと[br][math][B|b]=\left(\begin{matrix}1,1,1,b1\\-1,-1,-1,b2\\0,0,0,b3\end{matrix}\right)[/math] [br][/b]={{1,1,1,b1},{0,0,0,b1+b2},{0,0,0,b3}} b1+b2=0,b3=0で、[br]x=t[x1,x2,x3]とすれば、1行目との積x1+x2+x3=b1だから、[br]Bx=t[b1,b2,b3]の解はx=t[b1-x2-x3,x2,x3]=t[b1-s-t,s,t]とおける。[br]Bp1=0の特殊解はp1=t[-s-t,s,t]=t[-1,1,0][br]Bp2=p1=t[-1,1,0]の特殊解はp2=t[-1-s-t,s,t]=t[-3,1,1][br]Bp3=0の特殊解はp3=t[-s-t,s,t]=t[-2,1,1][br]これから、1例として[br][b]P=(p1,p2,p3)=(t{-1,1,0},t{-3,1,1},t{-2,1,1})[br][/b][br][math]\left(\begin{matrix}-1,-3,-2\\1,1,1\\0,1,1\end{matrix}\right)[/math][br]

[b][size=150]＜Pを先に出してからJを後で求める手順＞[br][/size][br][/b]A＝{{3,0,0},{-1,2,1},{-1,-1,4}}のとき[br][br][math]A＝\left(\begin{matrix}3,0,0\\-1,2,1\\-1,-1,4\\\end{matrix}\right)[/math][br][br] φ(x)=|A-tE3|=....=(t-3)^3から、Aの固有値t=3,3,3(対角成分）[br] B=A-3E3={{0,0,0},{-1,-1,1},{-1,-1,1}}で、B^2=О[br][math]B=A-3E_3=\left(\begin{matrix}0,0,0\\-1,-1,1\\-1,-1,1\end{matrix}\right)[/math][br][br] 係数行列Bのランクは1だから、dimV(3)=3-1=2。[br] 固有箱の入れ子の系列V(3)=⊂W1(3)⊂W2(3)=R^3から、[br] 次元は、dim W1(3)=2,dimW2(3)=3[br][br] だから、{{0,0,0},{-1,-1,1},{-1,-1,1}}ｘ＝０となるdim W1(3)の[br] 基底ベクトルはp,q２つある。[br] [p,q]=[{0,1,1},{1,0,1}][br][br] B^2=Oだから、Ox＝０となるxはなんでもいいけれど、p,qとは独立なものを追加する。[br]r={0,0,1}とすると、[p,q,r]で3次元をすべて張れるので、W2(3)つまり、R^3の基底になる。[br] p=Brから、[br]たとえば、P=(Br,r,q)[br] =(t{0,1,1},t{0,0,1},t{1,0,1})[br][math]\left(\begin{matrix}0,0,1\\1,0,0\\1,1,1\end{matrix}\right)[/math][br]とおくと、[br][b]J=P^(-1)AP={{3,1,0},{0,3,0},{0,0,3}}[br][/b][br][math]\left(\begin{matrix}3,1,0\\0,3,0\\0,0,3\end{matrix}\right)[/math][br]

[b]A＝{{3,-2,1},{0,3,0},{-1,2,1}}のとき[br][br][size=150]＜＊JからPを出してみよう。＞[br][/size][/b][br](1) φ(x)=|A-tE3|=....=(t-2)^2(t-3)から、[br]Aの固有値t=2,2,3(Jの対角成分）[br][b]t=2[br][/b](2) B1=A-2E3={{1,-2,1},{0,1,0},{-1,2,-1}}[br][math]\left(\begin{matrix}1,-2,-1\\0,1,0\\-1,2,-1\end{matrix}\right)[/math][br][br](3) r1=rankB1=2[br](4)固有値t=2で対角線に2が2個並ぶ部分で、n-r1=3-2=1個。[br]　このブロックではJB1={{2,1},{0,2}}[br][b]t=3[br][/b](2)' B2=A-3E3={{0,-2,1},{0,0,0},{-1,2,-2}}[br](3)' r2=rankB1=2[br](4)固有値t=3で対角線に2が1個並ぶ部分で、n-r2=3-2=1個。[br](5)(6)(7) [br]ここまでの情報をまとめると、[br] JB1={{2,1},{0,2}},JB2={{3}}[br][b] J=P^(-1)AP={{2,1,0},{0,2,0},{0,0,3}}[br][math]\left(\begin{matrix}2,1,0\\0,2,0\\0,0,3\end{matrix}\right)[/math][br][br][/b](8)変換行列を一次独立なベクトルp1,p2,p3を使ってP＝t{p1,p2,p3}と書くとAP=PJから[br] Ap1=2p1,Ap2=p1+2p2,Ap3=3p3[br]B1=A-2E3,B2=A-3E3を使って、[br]B1p1=0,B1p2=p1+2p2,B2p3=0と３つの方程式ができた。[br]一般にBx=bが解けるためには,b=t{b1,b2,b3]とおくと、[br]拡大係数行列[B|b]={{0,0,0,b1},{-1,-1,1,b2},{-1-1,1,b3}}[br][math]\left(\begin{matrix}0,0,0,b1\\-1,-1,1,b2\\-1,-1,1,b3\end{matrix}\right)[/math][br]={{0,0,0,b1},{-1,-1,1,b2},{0,0,0,b2-b3}} b2=b3,b1=0で、[br]x=t[x1,x2,x3]とすれば、2行目との積から-x1-x2+x3=b2=b3だから、[br]Bx=t[b1,b2,b3]の解はx=t[x1,x2,x1+x2+b2]=t[s,t,s+t+b2]とおける。[br]Bp1=0の特殊解はp1=t[s,t,s+t]=t[0,1,1][br]Bp2=p1=t[0,1,1]の特殊解はp1=t[s,t,s+t+1]=t[0,0,1][br]Bp3=0の特殊解はp1=t[s,t,s+t]=t[1,0,1][br]これから、1例として[br][b]P=(p1,p2,p3)={t{0,1,1},t{0,0,1},t{1,0,1}}[br][/b][br][math]\left(\begin{matrix}0,0,1\\1,0,0\\1,1,1\end{matrix}\right)[/math][br][br][b][size=150]＜＊Aが同じとき、PからJを出すこともできるはず。＞[br][/size][/b][br]Aの固有値t=2,2,3(Jの対角成分）[br][b]t=2に対して[br][/b]W1(2)⊂W2(2)=W(2), dimW1(2)=1,dimW2(2)=2[br]B1=A-2E3={{1,-2,1},{0,1,0},{-1,2,-1}}に対して、[br][math]\left(\begin{matrix}1,-2,1\\0,1,0\\-1,2,-1\end{matrix}\right)[/math][br][br]B1x=0の解はたとえば、p={1,0,-1}[br]B1^2={{0,-2,0},{0,1,0},{0,-2,0}}[br][math]\left(\begin{matrix}0,-2,0\\0,1,0\\0,-2,0\end{matrix}\right)[/math][br]に対して、[br]B1^2x=0の解はpの他に、たとえば、ｑ={0,0,1}[br][b]t=3に対して[br][/b]W1(3)=W(3),dimW1(3)=1[br]B2=A-3E3={{0,-2,1},{0,0,0},{-1,2,-2}}に対して、[br]B2x=0の解はたとえば、r={-2,1,2}としよう。[br]B1q=pだから、たとえば、[br][b]変換行列P=(B1q,q,r)=(t{1,0,-1},t{0,0,1},t{-2,1,2})[/b][br][math]\left(\begin{matrix}1,0,1\\0,0,1\\-1,1,2\end{matrix}\right)[/math]　[br][br]とすると、[br][b]J=P^{-1}AP={{2,1,0},{0,2,0},{0,0,3}}[/b][br][math]\left(\begin{matrix}2,1,0\\0,2,0\\0,0,3\end{matrix}\right)[/math][br]