Hemos visto anteriormente que hay infinitas ecuaciones posibles, con multitud de variables en ellas. Sin embargo es muy común encontrarse con ecuaciones en las que sólo desconocemos una de ellas, y a menudo es sencillo resolverlas, de modo que creo que merece la pena detenernos un poco en ellas para estudiar cómo resolver las más comunes de todas: las ecuaciones polinómicas. Si te estás preguntando por qué dedicamos un capítulo a esto, paciencia que luego hablamos del porqué. [br][br]Una ecuación polinómica es aquella en la que las expresiones algebraicas de ambos miembros son polinomios de una variable. Esto puede llevarte especialmente si hace años que lo estudiaste a la pregunta evidente de ¿qué diablos es un polinomio?[br][br]Un polinomio es una expresión algebraica de una variable (por ejemplo, z) de este tipo:[br][br][math]a+bz+cz^2+dz^3+ez^4+...[/math][br][br]Donde [math]a,b,c,d,e\dots[/math] son números. Dicho de otro modo, un polinomio es una suma de números multiplicados por potencias de la variable de exponente entero [math](1,2,3\dots)[/math], hasta donde nos dé la gana. Aquí tienes dos ejemplos[br][br]:[math]j^2−j^3+4j−6[/math][br][br][math]x^5−2[/math][br][br]Esto, en cambio, no son polinomios:[br][br][math]\sqrt{w}-2[/math][br][br][math]a^{\frac{1}{3}}+a[/math][br][br]El nombre es una mezcolanza de griego y latín: poli [i](muchos)[/i] y nomen [i](nombre)[/i]. Creo que el origen en álgebra es a partir de binomio [i](dos nombres o términos)[/i], ya que en matemáticas a partir del [math]XVII[/math]se empezó a utilizar nomen en el sentido de término en una expresión. Así, [math]a+2[/math] es un binomio, ya que consta de dos términos, mientras que [math]b^2+b−2[/math] es un trinomio. Al final se acabó usando polinomio en general, para cualquier número de términos, siempre que éstos fueran potencias enteras de una misma variable.[br][br]El [b]grado[/b] de un polinomio es el máximo exponente de la variable. En el primero de los dos polinomios válidos de antes el grado es [math]3[/math] y en el segundo es [math]5[/math]. Aunque suene un poco tonto, r+2r+2 es un polinomio de grado [math]1,[/math] y [math]5454[/math] es un polinomio de grado 0. El grado de una ecuación polinómica es el grado del mayor de los polinomios de ambos miembros.¿[i]Por qué las ecuaciones polinómicas son suficientemente importantes como para que les dediquemos una entrada?[/i] Hay dos razones. En primer lugar son extraordinariamente comunes en muchas situaciones de la vida real; en segundo lugar hay, hasta cierto punto, modos muy sencillos de resolverlas. Esto significa que las recompensas de su estudio son muy grandes comparadas con el esfuerzo que requiere estudiarlas.[br][br]Aquí tienes varios ejemplos de ecuaciones polinómicas:[br][br][math]t^3−2=t+1[/math][br][br][math]w^2−2=0[/math][br][br][math]x=3−1[/math][br][br][math]a^4+a−2a^3−1=a+2a^2+4a^9[/math][br][br]La primera es de grado [math]3,[/math] la segunda de grado [math]2[/math], la tercera de grado [math]1[/math] y la última de grado [math]9.[/math] [br][br][size=100][b]Número de soluciones de una ecuación polinómica[br][br][/b][/size]Las malas noticias son que no siempre es posible resolver fácilmente las ecuaciones polinómicas: hoy veremos cómo hacerlo hasta cierto grado, y cómo atacar grados mayores. Las buenas noticias son que, al menos, sí es posible saber cuántos valores de la incógnita resuelven la ecuación como mucho.[br][br]La forma en la que suele hablarse de esto es como del número de soluciones, un nombre no demasiado afortunado porque ya vimos que solución hay una sola: el conjunto de valores que resuelve la ecuación. Así, la solución de [math]x^2=1[/math]lo constituyen dos valores de[math]x,-1[/math] y [math]1.[/math] Sin embargo muy a menudo se dice que esa ecuación tiene dos soluciones, y todos nos entendemos: [i]quiere decir que la solución es un conjunto de dos valores.[br][br][/i]Esto de saber el número de soluciones puede no parecer muy útil –l[i]o que queremos saber son los valores en sí, no cuántos hay[/i]–, pero supone una gran ventaja: si sabemos que la ecuación no tiene más de tres soluciones y hemos encontrado ya tres, [i]¡podemos dejar de buscar, porque la hemos resuelto![br][br][/i]Hay más buenas noticias: es muy fácil saber cuántas soluciones diferentes hay, como máximo, para una ecuación polinómica. Basta con fijarse en el grado de la ecuación.[br][br]Dicho mal y pronto, una ecuación polinómica de grado [math]n[/math] tiene [math]n[/math] soluciones diferentes como mucho. Por ejemplo, una ecuación de tercer grado tiene como mucho tres soluciones distintas, y una de grado 9 no tiene más de nueve soluciones. Esto significa, como podrás imaginar, que cuanto mayor es el grado más difícil es resolver la ecuación. Al fin y al cabo, una de primer grado sólo requiere encontrar un valor de la incógnita que la resuelva, mientras que una de grado doce es una pesadilla de tomo y lomo.[br][br] [br][br][br][br][br][br][br]