Hasta ahora, hemos trabajado con la [b]pendiente[/b] de la recta tangente de la función para conocer cómo [b]se comporta la gráfica[/b]. [br][br]Lo que nos indica sí la función es creciente o decreciente en un punto determinado.
El valor de la [b]pendiente[/b] viene dado por la [b]derivada[/b]. El proceso de calcular la derivada de una función se llama [b]derivación[/b]. [br][br]La derivada de f en x está dada por[br][br][center][img]https://mathpadilla.files.wordpress.com/2011/10/definicion-derivada-usando-limite.jpg[/img][/center]siempre que exista el límite. Para todos los x para los que exista el límite, f' es una función en x.
Existen varias formas de escribir la derivada de f(x):[br][br][math]f'\left(x\right)[/math], se lee [i]"f prima de x"[br][math]\frac{dy}{dx}[/math][/i], se lee [i]"derivada de y con respecto a x"[br][math]y'[/math][/i], se lee [i]"y prima de x"[br][math]\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right][/math][/i] o [math]D_x\left[f\left(x\right)\right][/math], se lee [i]"derivada de f(x) con respecto a x"[/i][br][br]Todas, se refieren a la misma expresión: [b]la derivada[/b].
La temperatura media global (T) en °C, en función del número de años (t) desde el 2020, puede ser modelada como: [br][br] T (t) = 14,8 + 0,02 t[br][br] [list=1][*]Calcula el incremento de temperatura entre 2025 y 2030.[/*][*]Determina la pendiente de la función y explica su significado.[/*][*]Usa la recta tangente en 2025 para estimar la temperatura en 2030.[/*][/list]
[*][br][/*][*][b]Incremento:[/b] Δ𝑇=15.0−14.9=0.1°C[/*][*][br][/*][*][b]Pendiente:[/b] La pendiente de la función es la derivada de T (t) = 14,8 + 0,02 t que es 0,02[/*][*] Esto significa que la temperatura aumenta a una tasa constante de 0.02 °C por año.[/*][*][br][/*][*][b]Recta Tangente:[/b] La recta tangente en [img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]t=5t equals 5𝑡=5 es la propia función lineal.[/*][*]La estimación es exacta porque la función es lineal.[/*]
La concentración de CO₂ en la atmósfera ha aumentado de forma no lineal.[br][br][b]Función:[/b][br]La concentración de CO₂ en partes por millón (ppm), en función del número de años ([img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]t) desde 1950, puede ser modelada por:[br] [img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img]C(t)= 310+0.005 t[sup]2[/sup] [list=1][*]Calcula el incremento relativo de la concentración de CO₂ entre 2000 y 2020 [/*][*]Determina la tasa de cambio instantánea de la concentración en el año 2020.[/*][*]Usa la recta tangente en 2020 para estimar la concentración en 2022.[/*][/list]
[*][b]Incremento Relativo:[/b][/*][*][br][/*][*][b] [/b]≈0.037 o 3.7%[/*][*][br][/*][*][b]Tasa de Cambio Instantánea (Derivada):[/b] [img]data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==[/img][/*][*][br][/*][*] La concentración aumentaba a 0.7 ppm por año.[/*][*][br][/*][*][b]Recta Tangente:[/b][/*][*][b]y = 0,7x +287,5[/b][/*]