[size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]April 2022[/b][/i][/color])[/right][/size][/size][/size][/size][/size]

[size=85][color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color], bzw. allgemeiner [color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#ff00ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] in der [color=#0000ff][i][b]Moebius-Ebene[/b][/i][/color] können allenfalls nur dann [br]ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] bilden, wenn die [color=#980000][b]3[/b][/color] zugehörigen [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] in [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallen.[br][/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color][/size] sind die [i][b]Ortslinien[/b][/i], in welchen sich die [color=#ff00ff][i][b]Kurven[/b][/i][/color] aus zwei der [color=#ff00ff][i][b]Scharen[/b][/i][/color] berühren, [br][math]\hookrightarrow[/math] siehe das [color=#980000][i][b]book-Kapitel[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168948][color=#0000ff][u][i][b]Berührorte ...[/b][/i][/u][/color][/url] .[br]Es handelt sich dabei stets um [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], im nicht-zerfallenden Fall konkret um [color=#0000ff][i][b]Moebiustransformierte[/b][/i][/color] [br]der [b]CASSINI[/b]-Kurven.[br][br]Der Zerfall der [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] ist eine notwendige Bedingung, jedoch nicht hinreichend für das Vorliegen eines [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzes[/b][/i][/color]![br]Das Applet oben auch zeigt Netze, für welche die [color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] in [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallen, die jedoch die [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Bedingung[/b][/i][/color] nicht [br]erfüllen.[br][br][size=100][color=#cc0000][i][b]Gesucht sind sämtliche[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#ff00ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color], [br][color=#cc0000][i][b]deren [color=#000000]Pole[/color] aus [/b][/i][b]3*2 [/b][i][b]verschiedenen Punkten bestehen.[/b][/i][/color][/size][br]Wir werden in den Applets auch [color=#ff00ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] berücksichtigen, für welche [color=#980000][b]2[/b][/color] der Scharen dieselben [i][b]Pole[/b][/i] besitzen,[br]zB. ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] und das zugehörige [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br][br][color=#cc0000][u][i][b]Grundlagen: [/b][/i][/u][/color][br][/size][list][*][size=85][color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] vom selben Typ (beide [color=#ff0000][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], bzw. beide [color=#ff0000][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color]) mit [color=#980000][b]4[/b][/color] verschiedenen [i][b]Polen[/b][/i] besitzen [br]dann und nur dann einen in [color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallenden [color=#ff7700][i][b]Berührort,[/b][/i][/color] wenn die [i][b]Pole[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind. [br]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] eines zerfallenden [color=#ff7700][i][b]Berührortes[/b][/i][/color] sind [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color], einer der beiden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] kann imaginär sein.[br]Die [color=#ff00ff][i][b]Loxodromenscharen[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] zu demselben Winkel besitzen denselben [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color].[/size][/*][br][*][size=85][color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] von unterschiedlichem Typ (eines [color=#ff0000][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], das andere [color=#ff0000][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color]) mit [color=#980000][b]4 [/b][/color]verschiedenen[i][b] Polen[/b][/i][br]besitzen dann und nur dann [/size][size=85][size=85]einen in [color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallenden [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color], [br]wenn die [i][b]Pol-Paare[/b][/i] [color=#e69138][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegen. [br]Der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] besteht dann aus diesen beiden [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[/size][br][/size][/*][/list]

[size=85]Es gibt unter der Voraussetzung von [b]3*2[/b] verschiedenen [i][b]Polen[/b][/i] der [color=#ff00ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] zwei Situationen, [br]in welchen [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] entstehen:[br][br][/size][list][*][size=85]Im [color=#0000ff][i][b]Moebiusraum[/b][/i][/color] schneiden sich die ACHSEN der [color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#ff00ff][i][b]Scharen[/b][/i][/color] in einem [color=#ff0000][i][b]PUNKT[/b][/i][/color]. [br]Für die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der [color=#980000][b]3[/b][/color] [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]Scharen[/b][/i][/color][/size] bedeutet dies: [br]sie sind sämtlich [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] zu einem gemeinsamen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]. [br]Dieser kann auch imaginär sein - der Achsenschnitt-[/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]PUNKT[/b][/i][/color][/size] liegt im Inneren der [color=#0000ff][i][b]Moebius-Quadrik[/b][/i][/color].[br]Dieser Fall ist nicht leicht zu erkennen![/size][br][/*][*][size=85]Die [color=#980000][b]3[/b][/color] ACHSEN der [color=#ff00ff][i][b]Scharen[/b][/i][/color] besitzen keinen gemeinsamen [color=#ff0000][i][b]SCHNITTPUNKT[/b][/i][/color] im [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Moebiusraum[/b][/i][/color][/size].[br]Zu dieser Situation gehört auch der Fall eines [color=#ff0000][i][b]elliptischen[/b][/i][/color] und des dazu [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color]: [br]deren ACHSEN schneiden sich nicht. [br]Die Applets zeigen, dass in dieser Situation [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] nur für [color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] vorliegen, deren [i][b]Pol-Paare[/b][/i] [br]Punkte-Paare einer [i][b]ON-Basis[/b][/i] sind. [br]Allgemein ergibt sich unter dieser Voraussetzung stets ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color]. [br]Darunter sind auch Fälle, die zur erstgenannten Situation gehören.[br][br][/size][/*][/list][size=85]Insbesondere gibt es in den beiden genannten Situationen [b][i]keine[/i][/b] [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] mit [color=#ff00ff][i][b]loxodromischen[/b][/i][/color] Kurven.[/size]

[size=85][b][sup]*[/sup])[/b] Unter einer [b]ON[/b]-Basis verstehen wir [color=#980000][b]3[/b][/color] Punkte-Paare, die als Schnitt von [color=#980000][b]3[/b][/color] paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] entstehen;[br] [color=#cc0000][u][i][b]Beispiel:[/b][/i][/u][/color] die [math]x[/math]-Achse, die [math]y[/math]-Achse und der [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] schneiden sich in {0,[math]\infty[/math]}, {1,-1}, {i,-i}.[br][br][br][br]Wird noch ergänzt.[br][/size]