José Antonio Mora Sánchez, Dec 16, 2020

Este libro de GeoGebra se inició para acompañar al panel Arte y Matemáticas de la Exposición "Marzo, mes de las matemáticas Matemáticas para un mundo mejor". Posteriormente se ha ido completando con nuevas páginas también un último capítulo, el dedicado al Arte Cinético y en especial a las esculturas móviles del artista alicantino Eusebio Sempere (Onil, 1923 - 1985). Los applets han sido construidos por Bernat Ancochea Millet, Pepe Muñoz Santonja, José Luis Muñoz Casado, José Aurelio Pina Romero y José Antonio Mora Sánchez. [b]Presentación[/b] El arte pretende representar lo que viven las personas y hacerlo sentir a otros, compartirlo con los demás, unas veces es la realidad lo que intentan reflejar y en otros casos es el producto de su imaginación. Las artes plásticas: pintura, escultura o arquitectura han tenido que resolver los problemas derivados de esa representación, el espacio en un plano, conseguir que una composición sea armónica o que un edificio llame la atención a la vez que no se viene abajo y han recurrido en todas las épocas a las matemáticas para resolverlos. No es de extrañar ya que una de las virtudes de las matemáticas es esa: la capacidad para plantear un problema que viene de otro campo e intentar darle solución. Podemos empezar con una pregunta: ¿tendrá algo que ver el cuadro Las Meninas de Velázquez con las matemáticas?

Alberto Durero profundizó en la relación entre arte y matemáticas. En su obra Melancolía I nos muestra una reflexión profunda sobre el arte y el artista. El personaje central tiene en sus manos un compás, representa el carácter pensativo del artista y transmite la insuficiencia del conocimiento humano para conseguir la inspiración y para penetrar en los secretos de la naturaleza.

• 1. Melancolía I. Durero.
• 2. El poliedro en Melancolía I.
• 3. Cuadrado mágico en Melancolía I

En el renacimiento las artes plásticas aspiran a representar la realidad. Para que un espacio tridimensional quede reflejado en el plano de un cuadro, el observador debe experimentar la misma sensación que si estuviera viendo la escena real. Los artistas establecen las reglas de la perspectiva volviendo la mirada hacia Euclides.

• 1. La Última Cena. Leonardo
• 2. La escuela de Atenas. Rafael.
• 3. La perspectiva en Las meninas. Velázquez

Muchos artistas han utilizado ideas geométricas –a veces puede que de forma inconsciente-, para sus composiciones en la búsqueda del equilibrio entre las distintas partes de la obra, tenemos ejemplos muy claros en El descendimiento de Roger van der Weyden, en Las Meninas de Velázquez, El quitasol de Goya y en muchas obras de Leonardo da Vinci, Rafael, Piero della Francesca, Dalí o Picasso.

• 1. El descendimiento. Van der Weyden
• 2. Pala de Brera. P. della Francesca
• 3. La Primavera. Boticelli
• 4. El nacimiento de Venus. Boticelli
• 5. Venus y el organista. Tiziano
• 6. Las Meninas. Composición geométrica.
• 7. El quitasol de Goya.
• 8. La proporción áurea
• 9. La espiral áurea en el arte
• 10. Maruja Mallo. Naturaleza Viva

La fachada de Santa María Novella de León B. Alberti reúne la mayoría de los elementos del renacimiento: simetría, estudio de las proporciones y composición geométrica. Se proyecta con las dosis adecuadas de modularidad, proporción, equilibrio, armonía y belleza. En los applets podemos apreciar la proporción áurea que rige las distintas partes y también las figuras geométricas utilizadas en la composición de sus elementos entre las que destaca el cuadrado como módulo que se repite para formar otros de mayor tamaño 2, 4, 8 y 16 veces más grandes y también podemos reconocer el triángulo, el círculo o el hexágono.

• 1. Santa María Novella. Simetría
• 2. Santa María Novella. Composición geométrica.
• 3. Santa María de Novella. Proporción áurea.

En algunas de las regiones en las que se desarrolla el arte islámico no hay ricos materiales como el mármol para construir los grandes edificios institucionales. ¿De qué forma puede un gobernante mostrar su poder ante sus invitados cuando los recibe en un palacio si sus construcciones son de barro cocido? Encuentran la solución en la cerámica vidriada para decorar completamente las paredes. Los artesanos nazaríes -los geómetras-, utilizaron los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías con los que crear diseños complejos resulta una tarea sencilla. Convierten figuras elementales como el cuadrado o el triángulo en bellas composiciones de color. Los cuatro applets de esta sección toman como base los trabajos de Manuel Martínez Vela reflejados en su libro La Alhambra con Regla y Compás y se han llevado a animaciones de GeoGebra en esta dirección https://www.geogebra.org/m/accseyfs.

• 1. Cuadrados y estrellas
• 2. Hueso
• 3. Pajarita
• 4. Estrellas de 10 puntas
• 5. Análisis y construcción de un mosaico de La Alhambra.
• 6. El hueso y los movimientos en un mosaico
• 7. Los cuatro movimientos en un mosaico. Escher
• 8. Grupo de simetría del cuadrado
• 9. Las (48) simetrías del cubo.
• 10. La mitad del cuadrado
• 11. La baldosa de Truchet I. Haz tu mosaico.
• 12. La Baldosa de Truchet II. Simetrías y secuencias numéricas.

Las matemáticas ocupan un lugar central en la obra del artista holandés Maurits C. Escher. En sus visitas a la Alhambra estudió los mosaicos nazaríes para crear sus propios mosaicos en los que las figuras se transforman progresivamente, parecen saltar del plano al espacio o se encuentran en el infinito. Llevó al extremo las reglas de la perspectiva para crear mundos que percibimos como reales pero, cuando los analizamos detenidamente, comprobamos que son imposibles.

• 1. Triángulo Imposible
• 2. Cascada. Escher
• 3. Ascenso y descenso
• 4. Bellvedere
• 5. Concavidad y convexidad
• 6. Otros Mundos II. Escher
• 7. Relatividad

La arquitectura clásica ha tenido que resolver los problemas propuestos por las grandes construcciones con unos medios limitados por la tecnología de la época. Los anudadores egipcios utilizaban cuerdas con nudos para trazar perpendiculares mediante triángulos rectángulos (lados 3, 4 y 5) en una clara referencia al teorema de Pitágoras. En la edad media resuelven los problemas derivados de la construcción de grandes catedrales con arcos, columnas y cúpulas consiguiendo que los pesos se desplacen de forma equilibrada de unos sitios a otros para que aún hoy sigan en pie. Por otra parte en todas las épocas ha habido la búsqueda de un canon de belleza ideal basado en las proporciones entre las partes y el conjunto del edificio en la que la proporción áurea ha tenido un importante papel.

• 1. El Partenón. La espiral áurea.
• 2. El Partenón. Modelo en 3D a escala 1:1000
• 3. Columna salomónica
• 4. El octógono I (en la Catedral de Burgos)
• 5. El octógono II (en cúpulas de catedrales)
• 6. 3. Arco de herradura
• 7. 4. Arco ojival
• 8. 10. Arco rampante
• 9. Basílica del Santo Spirito. Planta.
• 10. Baptisterio de Florencia
• 11. Torre Espacio

A principios del siglo XX la utilización de la geometría en la pintura se lleva al extremo de pretender eliminar la representación de cualquier realidad. Evolucionan gradualmente hacia la simplificación de las formas hasta llegar a la abstracción geométrica. Las líneas y las formas conforman una composición abstracta de elementos que invitan a ver en ellos multitud de significados e intenciones de su autor. El espectador tiene que aportar las ideas, sentimientos, sensaciones o evocaciones que activa la contemplación de la obra en su mente.

• 1. Tableau II de Piet Mondrian
• 2. Piet Mondrian animado
• 3. Theo van Doesburg. Estudio para composición aritmética.
• 4. Mel Buchner. Meditación sobre el Teorema de Pitágoras.
• 5. Eusebio Sempere
• 6. Figura imposible de Yturralde
• 7. Giro del cuadrado de Vasarely
• 8. La mitad del cuadrado de Vicente Rodes
• 9. Op Art. Rectas de colores
• 10. Op Art. Curvas de colores

La abstracción geométrica se lleva también a la escultura del siglo XX con el objetivo de investigar sobre las formas básicas, el rigor, la utilización de las matemáticas, el orden y la modularidad y además se intenta sacar partido de la tercera dimensión. Los escultores intentan aprovechar la posibilidad de movimiento, unas veces haciendo que la obra pueda moverse y en otras consiguen que sea el desplazamiento del propio espectador lo que provoque los cambios en la percepción del objeto construido. Los artistas incorporan nuevas tecnologías (en un principio la fotografía, posteriormente los programas de ordenador) y los nuevos materiales (el acero, los plásticos).

• 1. Dos Rombos de Andreu Alfaro
• 2. Generatriu de Andreu Alfaro
• 3. Generatriu de Andreu Alfaro
• 4. Monumento a las Américas, Andreu Alfaro
• 5. Javier Carvajal: Nautilus
• 6. Escultura reglada de Javier Carvajal
• 7. Omnipoliedro

Eusebio Sempere (Onil, Alicante, 1923 -1985). Simulación matemática de varias esculturas de Eusebio Sempere que realizó con varillas de acero cromado ensartadas en móviles que el espectador puede alterar cambiando la configuración o bien desplazándose alrededor de ellos. Cada construcción con GeoGebra contiene el boceto del autor y un código QR que permite manipular la obra con realidad aumentada en el móvil.

• 1. Como una estrella
• 2. Móvil de la S
• 3. Círculo y cuadrado
• 4. Columna
• 5. Óvalo
• 6. Venecia
• 7. Dos Semiesferas o Diábolo
• 8. Pirámide
• 9. El Pájaro
• 10. Colgante Octaedro

• 1. La mitad del cuadrado
• 2. La mitad del cuadrado de Vicente Rodes
• 3. La Baldosa de Truchet II. Simetrías y secuencias numéricas.
• 4. Grupo de simetría del cuadrado
• 5. Las (48) simetrías del cubo.
• 6. La proporción áurea
• 7. Tableau II de Piet Mondrian
• 8. Op Art. Rectas de colores
• 9. Op Art. Curvas de colores