Pitágoras, [i]wikipedia[/i]
Teorema de Pitágoras
Pitágoras fue un matemático que aportó un teorema muy importante para la geometría y trigonometría.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Demostración del teorema de Pitágoras
Consideremos un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A. Sea D el pie de la perpendicular desde A. Veamos la siguiente figura:
Note que los triángulos DBA y ABC son semejantes por AA ya que ambos son rectángulos y comparten el ángulo en B. Por lo tanto, [math]\frac{AB}{CB}=\frac{DB}{AB}[/math], luego[br][math]AB^2=DB\cdot CB[/math] (a)[br]De igual manera, los triángulos DAC y ABC son semejantes. Entonces [math]\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}[/math] y se tiene que[br][math]CA^2=CD\cdot CB[/math](b)[br][br]Sumando las ecuaciones (a) y (b) obtenemos[br][math]AB^2+CA^2=DB\cdot CB+CD\cdot CB[/math][br][math]AB^2+CA^2=CB\left(DB+CD\right)[/math][br][math]AB^2+CA^2=CB\cdot CB[/math][br][math]AB^2+CA^2=CB^2[/math][br]
Teorema (recíproco de Pitágoras)
Si en un triángulo se tiene que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo.
Demostración del recíproco de Pitágoras
Supongamos que ABC es un triángulo cualquiera que cumple [math]CA^2+AB^2=CB^2[/math]. Veamos la siguiente figura:
Sea D el pie de la perpendicular desde A sobre el lado BC. Por el teorema de Pitágoras se tiene que [math]AD^2+DB^2=AB^2[/math] y [math]CD^2+AD^2=CA^2[/math].[br][br]Sumando estas dos ecuaciones tenemos que [math]2AD^2+DB^2+CD^2=CA^2+AB^2[/math]. [br]Pero por hipótesis [math]CA^2+AB^2=CB^2[/math] luego[br][br][math]2DA^2+DB^2+CD^2=CB^2[/math](a)[br][br]Por otro lado[br][math]CB^2=\left(CD+DB\right)^2=CD^2+2\cdot CD\cdot DB+DB^2[/math](b)[br][br]De (a) y (b) tenemos que[br][math]2AD^2+DB^2+CD^2=CD^2+2\cdot CD\cdot DB+DB^2[/math][br][br]Simplificando obtenemos[br][math]AD^2=CD\cdot DB[/math] (c)[br][br]Sea C' el punto de corte de BC con la perpendicular a AB que pasa por A según la figura:
Note que los triángulos rectángulos ADB y C'AB son semejantes. De igual manera los triángulos C'DA y C'AB son semejantes. Por lo tanto los triángulos C'DA y C'AB son semejantes. Por lo tanto los triángulos ADB y C'DA son también semejantes. Por tanto...[br][br][math]\frac{AD}{C'D}=\frac{BD}{AD}[/math][br][br]entonces [math]AD^2=BD\cdot C'D[/math]. Igualando esta última ecuación con la ecuación (c) se tiene que [math]CD\cdot DB=BD\cdot C'D[/math]. Entonces [math]CD=C'D[/math] y esto implica que [math]C=C'[/math]. Por lo tanto el triángulo ABC es rectángulo