[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color][u][color=#0000ff][b] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/b][/color][/u]. [color=#ff7700][b](11. März 2023)[/b][/color][br][color=#000000]Diese Seite ist auch eine Aktivität des [color=#ff7700][color=#000000][color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netz[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/color][/size][br][/right][size=85]Eine [b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] besitzt [b][color=#cc0000]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#BF9000]Symmetrie-Kreise[/color][/i][/b], einer davon ist imaginär.[br]In [b][i]Normalform[/i][/b] kann eine solche [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] implizit beschrieben werden durch eine Gleichung der Form[br][list][*][math]\left(x^2+y^2\right)^2-A_x\cdot x^2-B_y\cdot y^2+1=0[/math] mit reellen Koeffizienten [math]A_x[/math] und [math]B_y[/math]-[br][/*][/list]Die [b][i][color=#ff7700]Quartik [/color][/i][/b]ist [b][i][color=#BF9000]Achsen-symmetrisch[/color][/i][/b] und [b][i][color=#BF9000]symmetrisch[/color][/i][/b] zum [b][i][color=#BF9000]Einheitskreis[/color][/i][/b].[br]Nützlich für Berechnungen sind die beiden (komplexen) [b][i][color=#38761D]Funktionen[/color][/i][/b] mit denselben [b][i][color=#BF9000]Symmetrieen[/color][/i][/b][br][/size][list][*][size=85][math]\kappa\left(u\right):=u^2+\frac{1}{u^2}[/math] und [math]\hat\kappa\left(u\right):=u^2-\frac{1}{u^2}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Damit lassen sich die Koeffizienten [math]A_x[/math] und [math]B_y[/math] übersichtlich angeben:[br][/size][list][*][size=85][math]A_x=\kappa\left(s\right)[/math] und [math]B_y=\frac{\kappa\left(f\right)\cdot\kappa\left(s\right)-4}{\kappa\left(f\right)-\kappa\left(s\right)}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]wobei [math]f,-f,\frac{1}{f},\frac{-1}{f}[/math], [math](f > 1)[/math], die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] und [math]s,-s,\frac{1}{s},\frac{-1}{s}[/math] die [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse sind.[br]Für die folgenden Rechnungen betrachten wir den Fall [math]f>s>1[/math].[/size][size=85][br][br][b][i][color=#cc0000][u]Unser Ziel[/u][/color][/i][/b] ist die Berechnung der [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] im im "Inneren" der [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b]. Damit meinen wir [br]diejenigen von der [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] berandeten Flächenteile, welche die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] enthalten.[br]Die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] im Inneren hüllen die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] ein, sie sind [math]x[/math]-achsensymmetrisch.[br]Die [b][i][color=#38761D]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] mit den angegebenen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][br]der beiden [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschel[/color][/i][/b] um [math]f,-f[/math] bzw. um [math]\frac{1}{f},\frac{-1}{f}[/math]. [br]Diese [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] schneiden die [math]x[/math]-Achse in den Punkten [math]t[/math] und [math]t'=\frac{1}{t\cdot f^2}[/math] bzw. in [math]t''[/math] und [math]t'''=\frac{f^2}{t''}[/math] mit zunächst beliebigen[br]Parametern [math]t[/math] und [math]t''[/math]. Die beiden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] schneiden sich auf irgendeiner der [b][i][color=#38761D]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b].[br]Welche Beziehung zwischen den Parametern muß bestehen, damit die Schnittpunkte auf der vorgegebenen Quartik[br]liegen? [b][i][u][color=#cc0000]Ohne Beweis: [/color][/u][/i][/b]die beiden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] schneiden sich dann und nur dann auf der [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b][/size][size=85], wenn [math]t''[/math] aus [math]t'[/math] durch[br][b][i][color=#BF9000]Inversion[/color][/i][/b] am [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreis[/color][/i][/b] durch [math]\frac{1}{s},\frac{-1}{s}[/math] entsteht. Woraus [math]t''=\frac{1}{t'\cdot s^2}[/math] und [math]t'''=\frac{s^2}{t}[/math] folgt.[br]Der gesuchte [b][i][color=#999999]doppelt-berührende[/color][/i][/b] [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] im Inneren der [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b][/size][size=85] ist dann einer der beiden [b][i][color=#BF9000]Symmetriekreise[/color][/i][/b] der [br]beiden [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] [/size][size=85]aus den [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüscheln[/color][/i][/b][/size][size=85].[/size]

[size=85][b][i][u][color=#cc0000]Die Berechnungen ergeben:[/color][/u][br][/i][/b][/size][list][*][math]x_t=\frac{t\cdot\hat\kappa\left(f\right)}{t^2\cdot\left(\frac{f^2}{s^2}-1\right)+\left(s^2-\frac{1}{f^2}\right)}[/math][size=85];[/size] [math]x_t[/math] [size=85]ist der [math]x[/math]-Wert des [b][i][color=#ff0000]Schnitt-[/color][/i][/b] und [b][i][color=#ff0000]Berührpunktes[/color][/i][/b][/size][/*][*][math]m_t=\frac{t\cdot\hat\kappa\left(s\right)}{t^2\cdot\left(1-\frac{f^2}{s^2}\right)+\left(s^2-\frac{1}{f^2}\right)}[/math] [size=85]Mittelpunkt [/size][size=85]des [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b][/size] [/*][*][math]rm2_t=\frac{t^2\cdot\left(f^2-\frac{1}{s^2}\right)+\left(\frac{s^2}{f^2}-1\right)}{t^2\cdot\left(\frac{f^2}{s^2}-1\right)-\left(s^2-\frac{1}{f^2}\right)}=m_t^2-t_t^2[/math], [math]r_t[/math] [size=85]ist der Radius des [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b].[/size][br][/*][/list][size=85]Die [b][i][color=#ff0000]Kreisgleichung[/color][/i][/b] des [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b] zum Parameter[/size] [math]t\in\left[\frac{-1}{f^2},\frac{1}{f^2}\right][/math] [size=85]lautet damit[/size][br][list][*][size=85][math]x^2+y^2-2\cdot m_t\cdot x-rm2_t=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Setzt man[/size][size=85] in diese Gleichung die Koordinaten [math]x_p,y_p[/math] eines [b][i][color=#ff0000]Punktes[/color][/i][/b] [math]p[/math] im Inneren der [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] ein, so erhält man für den [br]Parameter [math]t[/math] [b][color=#cc0000]2[/color][/b] Lösungen ([b][i][color=#0000ff]quadratische Gleichung![/color][/i][/b]).[br]Die zu diesen Parametern gehörenden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] gehen durch [math]p[/math] und sie sind [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt-berührende[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85]![br][br][b][i][u][color=#cc0000]Wozu nützen diese Rechnungen?[/color][/u][/i][/b][br]Die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] im Inneren einer [b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teiligen [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] erzeugen ein [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netz[/color][/i][/b] aus [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b][br]dann und nur dann, wenn der [b][i][color=#38761D]Fokal[/color][/i][/b]-[b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] durch [math]\frac{-1}{f},\frac{1}{f}[/math] zugleich durch den [b][i][color=#ff7700]Quartik-Scheitel [/color][/i][/b]auf der [math]y[/math]-Achse geht![br]Aus der Gleichung [math]\kappa\left(s_y\right)=B_y=\kappa\left(f\right)[/math] folgt für den zugehörigen [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] [math]sf_x[/math] auf der [math]x[/math]-Achse[br][/size][list][*][math]sf_x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(C_f\pm\sqrt{C_f^2-4}\right)}[/math] [size=85]mit [/size][math]C_f=\frac{\kappa\left(f\right)^2+4}{2\cdot\kappa\left(f\right)}[/math].[/*][/list][br][table][tr][td][size=85]Die[b][i][color=#ff7700] 6-Eck-Bedingung[/color][/i][/b] ist erfüllt, wenn sich [br]die [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Figur[/color][/i][/b] im 7.- [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] schließt.[/size][/td][td][img]data:image/png;base64,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der [b][i][color=#38761D]Fokalkreis [/color][/i][/b]zugleich [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreis[/color][/i][/b], so stimmen die [b][color=#cc0000]3[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Schnittpunkte[/color][/i][/b] bei [math]p_6[/math] bis zur [b][color=#cc0000]13[/color][/b].-Nachkommastelle überein.[br]Dies ist angesichts der kompliziert erscheinenden Rechnungen beachtlich. [br]Allerdings beruhen alle Berechnungen im Wesentlichen nur auf quadratischen Gleichungen![/size]