Pokażemy, że wykonując obrót powierzchni o równaniu [math]z=2xy[/math] dookoła osi [math]Oz[/math] o kąt [math]45^\circ[/math] otrzymamy powierzchnię o równaniu [math]z=y^2-x^2[/math]. Jest to ta sama paraboloida hiperboliczna. [math]^{1)}[/math]

a) Włącz widoczność powierzchni [math]a'[/math], która będzie się obracać przy zmianie suwaka [math]\alpha[/math]. Jednocześnie obserwuj postać równania dla tej powierzchni.[br]b) Zmień równanie płaszczyzny przecięcia z powierzchnią [math]a'[/math] z [math]z=0[/math] na [math]z=1[/math]. Jakie równania otrzymamy?[br]

Spróbuj odgadnąć jaką postać przyjmie równanie powierzchni [math]a'[/math] przy obrocie dookoła osi [math]Oy[/math] o kąt [math]90^\circ[/math].[br]Sprawdź swoje przypuszczenie Korzystając z powyższego apletu.[br]

[math]^{1)}[/math]Aby wynik uzasadnić rachunkowo zauważmy, że obrót ten możemy sprowadzić do obrotu punktu na płaszczyźnie. Punkt o współrzędnych [math](x,y)[/math] obracamy wokół punktu (0,0). Po przekształceniu otrzymamy punkt [math](x',y')[/math], który będzie miał współrzędne:[center][br][math]x'=x\,\cos\beta-y\,\sin\beta[/math],[/center][center][math]y'=y\,\sin\beta+y\,\cos\beta[/math].[/center]Dalej podstawimy [math]\beta=45^\circ[/math] i wyznaczymy z układu [math]x[/math] i[math]y[/math]:[center][math]x=\frac{1}{\sqrt{2}}(x'+y'),[/math] [math]y=\frac{1}{\sqrt{2}}(y'-x').[/math][/center] Uwzględniając powyższe w równaniu [math]z=2\,x\,y[/math] otrzymamy równanie [math]z=(y')^2-(x')^2[/math].