Por un punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color] cualquiera pueden pasar 1, 2 o 3 normales a una [color=#0000ff][b]parábola p[/b][/color], dependiendo de si [color=#ff0000][b]P [/b][/color]se halla por debajo de la [color=#ff7700][b]evoluta w[/b][/color], en la evoluta o por encima de ella.[br][br]La evoluta es el lugar geométrico de los centros de curvatura y la envolvente de las rectas normales, de manera que estas son tangentes a ella.

Pulsando los botones [color=#0000ff][b][P ∈ p][/b][/color], [color=#ff7700][b][P ∈ w][/b][/color] o [b][P ∈ Oy][/b] se fuerza al punto a desplazarse por la parábola [color=#0000ff][b]p[/b][/color], la evoluta [color=#ff7700][b]w[/b][/color] o el eje [b]Oy[/b]. Pulsando [color=#ff0000][b][P libre][/b][/color] se le puede desplazar con el ratón a cualquier parte, o bien introducir sus coordenadas en la caja de entrada [color=#ff0000][b][P =][/b][/color] de la parte superior izquierda.[br][br]Si [color=#0000ff][b]P(u, v)[/b][/color] está en la parábola por encima de la [color=#ff7700][b]evoluta w[/b][/color], la [color=#85200c][b]recta s[/b][/color] que pasa por los otros dos puntos en que las normales por [color=#ff0000][b]P[/b][/color] vuelven a cortar a la parábola, corta al eje de esta en un punto fijo [color=#85200c][b]GC[/b][/color], simétrico del vértice respecto de la directriz.[br][br]La cúbica que los puntos de corte con las normales queda entonces[br][br][b]y = 2x³ + (1 - 2u²)x - u = (x- u)(2x² +2ux +1)[/b][br][br]que aparte del propio valor [b]u[/b], tiene las soluciones[br][br][b]x = (-u ± √(u² - 2))/2[/b][br][br][b][color=#0000ff]P[/color][/b] está en la parábola por encima de la evoluta [b]⇒ u² > 2[/b][br][br]La ecuación de la recta [color=#85200c][b]s[/b][/color] es entonces [color=#85200c][b]s: y = -ux - ½[/b][/color], pasando por el punto [color=#85200c][b]GC(0, -½)[/b][/color] para todo valor de [b]u [/b]tal que [b]u² > 2[/b]. Para [b]u² = 2[/b], se trata de una tangente y también pasa por el mismo punto. El punto de corte con el eje [b]OX[/b] es [b]x = -1/(2u)[/b].[br][br]Mi agradecimiento a [url=https://garciacapitan.epizy.com/]Francisco Javier García Capitán[/url] por la observación de las propiedades de esta [color=#85200c][b]recta s[/b][/color].[br][br]También se puede introducir la ecuación de una recta/curva en la caja de entrada [color=#ff00ff][b][r:][/b][/color] de la parte inferior izquierda, y pulsar a continuación el botón [color=#ff00ff][b][P ∈ r][/b][/color].