Dane su funkcije [math] \large f(x)=\frac{1}{2}x^2 [/math] i [math] \large g(x)=3x+\frac{1}{2} [/math] i njihova kompozicija [math] \large h(x)=f(g(x))=\frac{1}{2}\left(3x+\frac{1}{2}\right)^2 [/math]. Kako odrediti derivaciju složene funkcije? Možemo li odrediti derivaciju složene funkcije iz derivacija pojedinačnih funkcija?

Uvedimo zamjenu [math] \large u=g(x) [/math]. Tada je [math] \large \Delta u = g(x + \Delta x) - g(x) [/math], a zbog neprekidnosti funkcije [math] \large g [/math] vrijedi [math] \large \Delta u \to 0 [/math] kad [math] \large \Delta x\to 0 [/math]. Složenu funkciju [math] \large y=h(x)=f(g(x)) [/math] možemo pisati i ovako: [math] \large y=f(u) [/math], [math] \large u=g(x) [/math]. Onda je:[br][math] \large h' (x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(u+\Delta u) - f(u)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left[\frac{f(u+\Delta u) - f(u)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\right][/math][br][math] \large = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(u+\Delta u) - f(u)}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}= f' (u) \cdot g' (x)[/math].[br][br][b]Pravilo o ulančanom deriviranju:[/b] [math]\Large \boxed{f(g(x))'=f' (u) \cdot u'(x)}[br][/math], [math] \Large u=g(x)[/math].