オイラー線

Bunryu Kamimura, Dec 30, 2015

三角形に関するいろいろな点を見つけていたら、二つほどオイラー線上の点が見つかった。 オイラー線とは何か追求してみようと思って集めてみた。 ここから何が見えてくるのだろうか。 ちなみに「三角形の心」の紹介[url]http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html[/url]

Table of Contents

  1. オイラー線
    1. 三角形の心（オイラー線上の６点）
  2. オイラー線の性質
    1. オイラー線の内分
    2. オイラー線の二種類の鏡映
  3. オイラー線上の点
    1. 三円交線abc
    2. ３円交線中交点
    3. エクセター点
    4. Schiffler点
    5. Schiffler点の作り方
    6. 三角形の心の分類
    7. 中交点になる直線
    8. ３円交線その７
  4. オイラー線の極線
    1. 垂軸とオイラー線
    2. オイラー線の極線
    3. オイラー線上の極点の極線の軌跡
    4. 三角形の心の極線と内接二次曲線
    5. 重心を通る極線の内接二次曲線は放物線
    6. x648の内接放物線と垂軸(Hの極線)は接する
  5. ソディ線
    1. ソディ線とジェルゴンヌ点の極線は直交する
    2. ソディ線上の極の作る極線
  6. ナーゲル線
    1. ナーゲル線
    2. 三角形極線との垂線
    3. 極線上の点の極線の包絡線

1.

オイラー線

OとGとHは一直線上にあって、GH＝２OG この直線をオイラー線という。 １７６５年にオイラーが発見した。

  • 1. 三角形の心（オイラー線上の６点）

1.1.

三角形の心（オイラー線上の６点）

３円交線は一点で交わる。 Aを中心に半径ａの円、Ｂを中心に半径ｃの円、Ｃを中心に半径ｃの円 この３円交線の交点[math]F_1[/math]はオイラー線上にある。 中交点も３円交線だったから、三角形に関する３円交線はオイラー線上にあるのではないか？
– Bunryu Kamimura

2.

オイラー線の性質

  • 1. オイラー線の内分
  • 2. オイラー線の二種類の鏡映

2.1.

オイラー線の内分

オイラー線を１：２に内分する。 （△ＡＧＨ∽△ＥＧＯだから）[br]内心と一直線に並ぶ直線がある。フォイエルバッハ点と内心とＮと・・・[br]傍心円と9点円の接点と頂点を結んでみよう。[br]一点で交わる点がある。それは・・・。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

3.

オイラー線上の点

どんな点がオイラー線上にあるのか調べてみよう。

  • 1. 三円交線abc
  • 2. ３円交線中交点
  • 3. エクセター点
  • 4. Schiffler点
  • 5. Schiffler点の作り方
  • 6. 三角形の心の分類
  • 7. 中交点になる直線
  • 8. ３円交線その７

3.1.

三円交線abc

Aの半径がａ、Ｂの半径がｂ、Ｃの半径がｃの三円の交線 この点はオイラー線（桃）上にある。
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

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3.4.

–

3.5.

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3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

4.

オイラー線の極線

オイラー線と直交する直線がある。 極と極線については[url]https://www.geogebra.org/m/GGxXB9dV[/url]

  • 1. 垂軸とオイラー線
  • 2. オイラー線の極線
  • 3. オイラー線上の極点の極線の軌跡
  • 4. 三角形の心の極線と内接二次曲線
  • 5. 重心を通る極線の内接二次曲線は放物線
  • 6. x648の内接放物線と垂軸(Hの極線)は接する

4.1.

垂軸とオイラー線

垂心Hを極とする極線を垂軸という。垂軸とオイラー線は直交する。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

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4.4.

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4.5.

–

4.6.

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5.

ソディ線

オイラー線以外にも直線が考えられます。 内心とジェルゴンヌ点とド・ロンシャン点は一直線上に並ぶ。 この線をソディ線という。

  • 1. ソディ線とジェルゴンヌ点の極線は直交する
  • 2. ソディ線上の極の作る極線

5.1.

ソディ線とジェルゴンヌ点の極線は直交する

(1) 内心と重心とナーゲル点を結んでみよう。(2) 頂点ABCと垂心Hと内心を通る二次曲線を作図してみよう。(3) ではオイラー線と直交する極線は？
– Bunryu Kamimura

5.2.

–

6.

ナーゲル線

ナーゲル線と直交する極線は？

  • 1. ナーゲル線
  • 2. 三角形極線との垂線
  • 3. 極線上の点の極線の包絡線

6.1.

ナーゲル線

ナーゲル点の極線はド・ロンシャン点とナーゲル点を結んだ線と直交する。ナーゲル線と極線が直交する点があるはず。
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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