Oldjuk meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert![br][b]20[/b][i]x [/i]+ [b]27[/b][i]y[/i] =700[br]||[i]x[/i]| - |[i]y[/i]|| = 20[br]__________________[br][right]Ötlet: Quora[/right][br]

1. [b]A vizuális reprezentáció ereje (GeoGebra-reflexió)[/b][br]A feladat tisztán algebrai úton könnyen elágazások rengetegévé válhat, ahol a diákok gyakran elveszítik a fonalat vagy mechanikussá válnak. A GeoGebra-modell használata azért zseniális, mert [b]geometriai jelentést ad az abszolút értékeknek[/b]. A ||[i]x[/i]| -|[i]y[/i]|| = 20 egyenlet nem más, mint négy darab félegyenes, amelyek egy folyosót/csillagot zárnak közre. A megoldás így vizuálisan az egyenes és ezen „falak” metszéspontjaiként azonnal értelmezhetővé válik. [br][br]2. [b]Csapdahelyzetek és a szimmetria hiánya[/b][br]Bár a második egyenlet, ||[i]x[/i]| -|[i]y[/i]|| = 20 teljesen szimmetrikus a koordinátatengelyekre, valamint az origóra nézve, az első egyenlet [b]20[/b][i]x[/i] + [b]27[/b][i]y [/i]= 700 megtöri ezt a szimmetriát. Ezért a kapott koordináták - bár számértékeikben ismétlődnek a 300, 1100, 160, 1240 számok - nem egyszerű előjelváltásokkal adódnak egymásból. Ez jó lecke a diákoknak arra, hogy a részleges szimmetria nem jelent teljes szimmetriát a végeredményben.[br][br]3. [b]Miért pont 4 megoldás van? (Kvalitatív elemzés)[/b][br]Érdemes felhívni a figyelmet az együtthatók és a konstansok viszonyára. Az első egyenlet meredeksége [i]m[/i] = [math]-\frac{20}{27}[/math]. Mivel ez a meredekség -1 és 0 közé esik, az egyenes „laposabb”, mint a 45°-os abszolút értékű határvonalak (melyek meredeksége [math]\pm[/math]1. Mivel az ibolya színű egyenes laposabb, törvényszerű, hogy a „folyosó” mind a négy határvonalát pontosan egyszer fogja metszeni. Ha az egyenes meredeksége pontosan [math]\pm[/math]1 lenne, akkor előfordulhatna párhuzamosság (0 vagy végtelen megoldás).[br][br]4. [b]Miért estek ki a negatív esetek?[/b][br]Az algebrai levezetés során látható, hogy az érvényes megoldásoknál a második koordináta mindig pozitív lett. Geometriailag ez azért van, mert [b]20[/b][i]x[/i] + [b]27[/b][i]y[/i] = 700 egyenes az [i]y[/i]-tengelyt magasan a pozitív tartományban metszi, és az [i]x[/i]-tengelyt is messze jobb oldalon. Mivel az egyenes a felső félsíkon halad át a releváns tartományban, a negatív ágakkal való elméleti metszéspontok kívül esnek az abszolút értékes feltételek tartományán.[br]