Derivada Direcional e o Gradiente

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Interpretação geométrica da derivada direcional e sua relação com o gradiente da função

A ilustração seguinte mostra a interpretação geométrica do gradiente de uma função de duas variáveis em um ponto P, em relação à sua derivada direcional na direção do vetor unitário [math]\LARGE u[/math].[br][br]Movimente o vetor [math]\LARGE u[/math] arrastando o ponto A na janela à esquerda. Modifique a posição do ponto P arrastando-o diretamente na janela direita ou modificando suas coordenadas na janela à esquerda.[br][br]Para que valores do ângulo [math]\LARGE \theta[/math] a derivada direcional atinge os seus valores: máximo, mínimo e zero?

Vamos ver se entenderam o que estudamos?

A derivada direcional tem seu valor máximo se

o vetor u tem mesma direção e sentido do vetor gradiente o vetor u aponta na direção do eixo Oy o vetor u faz um ângulo de 90º com o vetor gradiente o vetor u aponta na direção do eixo Ox o vetor u tem mesma direção mas sentido oposto ao do vetor gradiente.

A derivada direcional tem seu valor mínimo se

o vetor u tem mesma direção mas sentido oposto ao do vetor gradiente. o vetor u faz um ângulo de 90º com o vetor gradiente o vetor u tem mesma direção e sentido do vetor gradiente o vetor u aponta na direção do eixo Ox o vetor u aponta na direção do eixo Oy

A derivada direcional é nula se

o vetor u tem mesma direção e sentido do vetor gradiente o vetor u aponta na direção do eixo Oy o vetor u aponta na direção do eixo Ox o vetor u faz um ângulo de 90º com o vetor gradiente o vetor u tem mesma direção mas sentido oposto ao do vetor gradiente.

Julgue as afirmações seguintes

A função mostrada inicialmente na ilustração acima [[math]\Large f(x,y)=\cos(x)+\cos(y)+2[/math]] tem valor máximo 1 pois as componentes do vetor gradiente são as funções seno e cosseno e como se sabe [br][br][center][math]\Large \sqrt{(f_x)^2+(f_y)^2}=\sqrt{\sin^2(x)+\cos^2(y)}=1[/math][/center]

Errado Certo

Dada a função [math]\Large f(x,y)=\cos(x)+\cos(y)+2[/math] NÃO TEM nenhum ponto e nenhuma direção de tal forma que [math]\Large D_u [f(x,y)]=3[/math].