6. ER - Winkel zwischen zwei Vektoren

Zur Erinnerung eine kurze Wiederholung
Die Beziehungen der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck, werden in der Trigonometrie betrachtet. Am Einheitskreis, d.h einen Kreis mit dem Radius 1 ergibt sich folgende Darstellung.[br][img]data:image/png;base64,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der folgenden Aussagen ist richtig?
Herausforderung 1
Zur ersten Annäherung: Beschränkung auf Vektoren der Länge 1.
1. Herausforderung
[list=1][*]B[size=100]ewegen Sie den Vektor [math]\begin{matrix}\rightharpoonup\\v\end{matrix}[/math] (Punkt B).[/size][/*][*][size=100][/size][size=100][size=100]Bilden Sie das Skalarprodukt [math]\begin{matrix}\rightharpoonup\\v\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\rightharpoonup\\u\end{matrix}[/math] und untersuchen Sie, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und cos([math]\alpha[/math]) gibt.[/size][/size][size=100][/size][br][/*][*]Geben Sie ihre Vermutung als Formel ein.[/*][/list][br][br]
2. Herausforderungen
Verallgemeinerung: Für Vektoren beliebiger Länge[br][br][br][br]Experimentieren Sie mit dem Applet unten, indem Sie die Länge der Vektoren mit dem Schieberegler variieren. [br][br]Ändert sich mit der Länge auch der Cosinus des Winkel?[br]Wie muss nun die Formel lauten, wenn die Vektoren nicht die Länge 1 haben? [br]Geben Sie Ihre Antwort ein. [br][br][br]
3. Herausforderung
Zur Überprüfung, ob sich die Formel auch im dreidimensionalen Raum verwenden lässt, berechnen Sie mit der oben gewonnen Formel den Winkel zwischen dem Vektor [math]\begin{matrix}\rightharpoonup\\u\end{matrix}=\left(\begin{matrix}9\\0\\4\end{matrix}\right);\begin{matrix}\rightharpoonup\\v\end{matrix}=\left(\begin{matrix}8\\6\\8\end{matrix}\right)[/math].
4. Herausforderung
Überprüfen Sie Ihre Rechnung mit Geobera. Geben Sie dafür den Befehl [color=#0000ff][b]Winkel[/b](u,v)[/color] in die Eingabezeile ein.[br]
[b][color=#ff7700][size=150]Übertragen Sie Ihre Ergebnisse auf das Protokollblatt.[br]Notieren Sie sich Fragen und Anregungen auf Ihrer Besprechungsnotiz.[/size][/color][/b]
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Information: 6. ER - Winkel zwischen zwei Vektoren