[color=#ff0000][b]Merksatz:[/b][br]Der Graph einer Funktion f ist genau dann [/color][list][*][color=#ff0000][b][u]achsensymmetrisch zur y-Achs[/u][u]e[/u][/b]    [/color][/*][/list][color=#ff0000]  wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich gilt, dass [b]f(-x) = f(x)[/b].[/color][br]  Diese Bedingung ist erfüllt, wenn f(x) [b]nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält. [/b][br]   (Achtung Exponent bei absolutem Glied (b) ist gerade! [math]x^0\cdot b=1\cdot b=b[/math]) [br][br][list][*][color=#ff0000][u][b]pu[/b][/u][b][u]nktsymmetrisch zum Ursprung[/u][/b] (0|0)[/color][/*][/list][color=#ff0000]  wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich gilt, dass [b]f(-x) = -f(x)[/b][/color][br]  Diese Bedingung ist erfüllt, wenn f(x) [b]nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.[/b](Achtung x hat den Exponenten 1 und ist somit ungerade! [math]x^1=x[/math])[br][br]-->[u] Vorgehen bei der rechnerischen Überprüfung auf Symmetrie:[/u] -x in f(x) einsetzen, umformen und mit f(x) vergleichen. [br][br][b][u]Hinweis:[/u][/b] beinhaltet der Funktionsterm einer Funktion f(x) [b]sowohl gerade als auch ungerade Potenzen[/b] ist der Graph [b]weder Achsensymmetrisch zur y-Achse noch Punktsymmetrisch zum Ursprung![br][/b]

[b]Beispiel Achsensymmetrie:[/b][br]der Graph der Funktion [math]f\left(x\right)=4x^6-3x^2+0,4[/math] ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da der Term nur gerade Exponenten enthält.[br]Rechnerisch kann dies so gezeigt werden:[br][math]f\left(-x\right)=4\left(-x\right)^6-3\left(-x\right)^2+0,4=4x^6-3x^2+0,4=f\left(x\right)[/math]

[b]Beispiel Punktsymmetrie:[/b][br]der Graph der Funktion [math]g\left(x\right)=-7x^5+2x^3-4x[/math] ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da der Term nur ungerade Exponenten enthält.[br]Rechnerisch kann dies so gezeigt werden:[br][math]g\left(-x\right)=-7\left(-x\right)^5+2\left(-x\right)^3-4\left(-x\right)=7x^5-2x^3+4x=-\left(-7x^5+2x^3-4x\right)=-g\left(x\right)[/math]

Die Graphen der Funktionen h und k sind weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch Punktsymmetrisch zum Ursprung:[br][list][*]da für [math]h\left(x\right)=4x^4+2x^2+3x[/math] sowohl gerade als auch ungerade ([math]x^1=x[/math]) Exponenten vorkommen[/*][*]da für [math]k\left(x\right)=x^5+3x^3-2x+2[/math] sowohl ungerade als auch gerade ([math]2=2x^0=2\cdot1[/math]) vorkommen.[br][/*][/list]