[br]Wyznaczymy dziedzinę oraz przedziały wypukłości i wklęsłości [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x-2}+\ln\left(x+2\right)[/math].[/center][br]Wykorzystamy następujące twierdzenia:[br]1) Jeśli [math]f''(x)>0[/math] dla [math]x\in I[/math], to funkcja [math]f[/math] jest [b]ściśle wypukła[/b] na przedziale [math]I[/math].[br]2) Jeśli [math]f''(x)<0[/math] dla [math]x\in I[/math], to funkcja [math]f[/math] jest [b]ściśle wklęsła[/b] na przedziale [math]I[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]: [br]Funkcja [math]f[/math] jest określona, gdy [math]x\ne2[/math] i [math]x+2>0[/math], a zatem dziedzina funkcji [math]D=(-2,2)\cup(2,+\infty)[/math]. Aby wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji [math]f[/math] obliczymy jej drugą pochodną i zbadamy, gdzie przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne.

Ponieważ [math]f''(x)<0[/math] dla [math]x\in(-2,0)\cup\left(2,+\infty\right)[/math], więc funkcja [math]f[/math] jest wklęsła na przedziałach [math](-2,0)[/math] i [math]\left(2,+\infty\right)[/math]. Ponadto [math]f''(x)>0[/math] dla [math]x\in ((0,2)[/math], więc [math]f[/math] jest wypukła na przedziale [math](0,2)[/math]. [br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]: