[br]
Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt? - Selbstorganisiertes Lernen
Einleitung und Anleitung für die Bearbeitung des Arbeitsblattes:
[justify][b][u]Einleitung und Ausgangsfrage:[/u][/b][br]In diesem Arbeitsblatt gehen Sie der Frage nach, wie [b]Hoch-[/b] und [b]Tiefpunkte[/b], auch [b]Extrempunkte[/b] genannt, einer ganzrationalen Funktion [b]rechnerisch[/b] ermittelt werden können und wie man [b]rein rechnerisch beurteilen[/b] kann, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.[br][br]Ein weiterer besonderer Punkt mit dem man im Zuge dieser Frage unweigerlich konfrontiert wird, ist der sogenannte [b]Sattelpunkt[/b]. Sie werden im Zuge des Arbeitsblattes auch lernen, was es mit diesem Punkt auf sich hat.[br][br][b][u]Anleitung:[/u][/b][br]Gehen Sie das Arbeitsblatt [b]schrittweise[/b] von oben nach unten durch. [b]Sprich:[/b] Scrollen Sie zu Beginn [b]nicht [/b]einfach nach unten![br]Vertrauen Sie darauf, dass sich beim Erstellen des Arbeitsblattes jemand Gedanken gemacht hat ;-) und Sie durch die Bearbeitung der Aufgaben Schritt für Schritt zu einer Antwort der Ausgangsfrage geleitet werden.[/justify][br]
Bevor es richtig los geht (Startbedingungen):
Für eine erfolgreiche Bearbeitung der Aufgaben ist es unerlässlich, dass Sie in der Lage sind ganzrationale Funktionen rechnerisch abzuleiten.[br][br]Überprüfen Sie sich mit Hilfe der folgenden Aufgaben selbst.
Bestimmen Sie jeweils die korrekte Ableitungsfunktion zur gegebenen Bestandsfunktion
[math]f\left(x\right)=5x^2[/math]
[math]f\left(x\right)=3x^3-2x^2[/math]
[math]f\left(x\right)=-5x+10[/math]
[math]f\left(x\right)=2x^5-3x^4+10x^3-5x^2+3x-2[/math]
Jetzt zurück zur Ausgangsfrage!
[size=100]Wie kann man Extrempunkte rechnerisch ermitteln und jeweils beurteilen, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt?[br][br][/size]Betrachten wir zum Beispiel [b]folgende Funktion[/b]:[size=150][size=200][br][math]f\left(x\right)=2x^5-0,2x^4-4x^3+2[/math][/size][/size][br][br]Ihre Aufgabe ist es [b]alle Hoch-[/b] [b]und[/b] [b]Tiefpunkte[/b] dieser Funktion [b]rechnerisch[/b] zu ermitteln.
Schritt 1: Erinnern Sie sich noch daran, was eine Besonderheit an Hoch- und Tiefpunkten ist?!
Schauen Sie sich dafür ggf. [b]Abbildung 1[/b] an und bearbeiten Sie die [b]nachfolgenden Aufgaben.[/b][br][br][b]Überprüfen[/b] Sie [b]nach[/b] Bearbeitung der Aufgaben Ihre Ergebnisse durch Einblenden der [b]Musterlösung[/b].
Abbildung 1
Aufgabe 1:
[b]Benennen[/b] Sie, wie viele Extrempunkte die betrachtete Funktion in [b]Abbildung 1[/b] aufweist. [b]Benennen[/b] Sie weiterhin wie viele Hochpunkte und wie viele Tiefpunkte darunter enthalten sind.
Aufgabe 2:
[b]Benennen[/b] Sie, welche Steigung die angelegten Tangenten an den jeweiligen Extrempunkten haben und [b]erläutern[/b] Sie kurz den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung.
Aufgabe 3:
[b]Benennen[/b] Sie, welchen Wert die Ableitung an Extrempunkten annimmt und [b]formulieren[/b] Sie [b]in Form einer Gleichung [/b]eine [b]Bedingung[/b] für den Wert der Ableitung an Extrempunkten.
Schritt 2: Mit Kenntnis über die notwendige Bedingung für die Berechnung von Extrempunkten zurück zum Ausgangsbeispiel
Ausgangsbeispiel:[br][br][math]f\left(x\right)=2x^5-0,2x^4-4x^3+2[/math]
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie zunächst die erste Ableitung von f(x).
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie mit Hilfe der notwendigen Bedingung alle x-Werte, an denen [b]potentiell ein Extrempunkt vorliegen[/b] könnte.[br][br]
Schritt 3: Jetzt muss nur noch geklärt werden, ob an diesen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen und welche Art von Extrempunkt dies jeweils ist
Dies kann auf zwei Möglichkeiten entstehen. Für das Entdecken dieser Möglichkeiten schauen Sie sich [b]Abbildung 2[/b] an und bearbeiten Sie die nachfolgenden Aufgaben.
Abbildung 2
Aufgabe 6:
Beschreiben Sie mit Hilfe von Abbildung 2 wie sich die Ableitungsfunktion (durch Häkchen aktivieren) in der Umgebung des eingezeichneten Tiefpunktes (links und rechts daneben) verhält. Was geschieht dabei mit dem Wert der Ableitung?
Aufgabe 7:
Beschreiben Sie mit Hilfe von [b]Abbildung 3[/b] wie sich der Wert der Ableitung in der direkten Umgebung eines Hochpunktes verhält.[br]
Abbildung 3
[br]
Aufgabe 8:
Formulieren Sie mit Hilfe Ihres Wissen über den Vorzeichenwechsel der Ableitung in der Umgebung von Extrempunkten eine Regel / ein Kriterium zur Beurteilung, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen Hoch- / oder einen Tiefpunkt handelt.
Aufgabe 9:
Erläutern Sie anhand von [b]Abbildung 4[/b] was man unter einem Sattelpunkt versteht und erklären Sie, was hier bezüglich des Vorzeichens der Ableitung zu beachten ist (Ist das Vorzeichenwechselkriterium für einen Sattelpunkt erfüllt?)
Abbildung 4
Aufgabe 10:
Wieder zurück zum Ausgangsproblem: [b]Beurteilen[/b] Sie nun mit Hilfe des [b]Vorzeichenwechselkriteriums[/b] für welchen der über die notwendige Bedingung ermittelten x-Werte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.[br][br]Für x-Werte siehe Lösung Aufgabe 5![br]
Aufgabe 11:
Da die Ausgangsfrage auf Extrem[b]punkte[/b] (und Sattel[b]punkte[/b]) bezogen war, müssen noch die y-Koordinaten der jeweiligen Punkte ermittelt werden.[br][br]Berechnen Sie für die ermittelten Hoch-, Tief- und Sattelpunkte die dazugehörigen y-Werte und geben Sie die entsprechende Punkte vollständig an.[br]
Blick auf die Funktion (Ergebniskontrolle)
In der nachfolgenden [b]pdf-Datei [/b]können Sie sich die [b]Ausgangsfunktion f(x)[/b] mit den berechneten Hoch-, Tief- und Sattelpunkten zur abschließenden Kontrolle anschauen.
Darstellung der Ausgangsfunktion f(x)
Aufgabe 12:
Wie anfangs erwähnt gibt es zwei Methoden, um Hoch-, Tief- und Sattelpunkte zu unterscheiden. Das Vorzeichenwechselkriterium haben Sie nun als hinreichende Bedingung kennengelernt. [br][br]Erläutern Sie mit Blick auf die [b]zweite Ableitung f''(x)[/b] (das ist die Ableitung der Ableitung) in den [b]Abbildungen 2 , 3 und 4[/b] wie Hoch-, Tief- und Sattelpunkte ebenfalls unterschieden werden können.[br]