[size=85]Následující cvičení doplňují úlohu 3.4.1. z Metodiky výuky středoškolské matematiky.[/size]

[b]Postup 1[br][/b]Naznačuje intuitivní, avšak nesprávný způsob, kdy tečnu sestrojíme tak, že pouze přiložíme pravítko ke kružnici a sestrojíme přímku vedoucí bodem [math]A[/math], která se kružnice [math]k[/math] dotýká. Pokud si tuto přímku přiblížíme, zjistíme, že to NENÍ tečna![br][br][b]Postup 2[br][/b]Druhý postup ukazuje, jak správně zkonstruovat tečnu ke kružnici z daného bodu. [br][br]1. sestrojíme přímku [math]p[/math], která prochází daným bodem [math]A[/math] a středem kružnice [math]S[/math][br]2. nalezneme střed [math]S_{SA}[/math] úsečky [math]SA[/math][br]3. sestrojíme Thaletovu kružnici nad úsečkou [math]SA[/math][br]4. průsečíky Thaletovy kružnice s kružnicí [math]k[/math] jsou body dotyku tečen vedených z bodu [math]A[/math] ke kružnici [math]k[/math][br]

Při konstrukci tečen využíváme Thaletovu kružnici. Následující aktivita nám pomůže vypozorovat, co říká Thaletova věta a jaké vlastnosti má Thaletova kružnice.[br][br]Pohybujte body [math]A,C[/math] a [math]D[/math] a pozorujte, jak se mění velikosti úhlů [math]\alpha[/math] a [math]\beta[/math].[br]Jakých hodnot nabývá úhel [math]\alpha[/math] v závislosti na poloze bodu [math]D[/math] vůči kružnici [math]k[/math]?

Úhel [math]\alpha<90\text{°}\longleftrightarrow D[/math] leží vně kružnice [math]k[/math], [math]90<\alpha\le180\text{°}\longleftrightarrow D[/math] leží uvnitř kružnice [math]k[/math]. Pokud bod leží na kružnici [math]k[/math], pak je úhel vždy pravý.[br][br][b]Thaletova věta[br][/b]Pro libovolný trojúhelník [math]ABC[/math] platí:[br]- je-li trojúhelník [math]ABC[/math] pravoúhlý s přeponou [math]AB[/math], pak vrchol [math]C[/math] leží na kružnici [math]k[/math] s průměrem [math]AB[/math],[br]- leží-li vrchol [math]C[/math] na kružnici [math]k[/math] s průměrem [math]AB[/math], pak je [math]ABC[/math] pravoúhlý trojúhelník s přeponou [math]AB[/math].[br][br]Kružnici [math]k[/math] nad průměrem [math]AB[/math] nazýváme Thaletova kružnice.

[b]Tečna[/b] je přímka, která má s kružnicí právě jeden společný bod. Ten nazýváme bod dotyku. Pokud známe bod dotyku [math]T_1[/math], tečnu procházející tímto bodem sestrojíme jako [b]kolmici [/b]k úsečce [math]ST_1[/math], kde [math]S[/math] je střed kružnice.[br][br]Na tečně [math]t[/math] pak můžeme zvolit libovolný bod [math]A[/math] ([math]A\ne T_1[/math]). Trojúhelník [math]SAT_1[/math] je vždy [b]pravoúhlý[/b] s pravým úhlem u vrcholu [math]T_1[/math]. [br][br]Podle Thaletovy věty tak platí, že vrchol [math]T_1[/math] leží na [b]Thaletově kružnici [/b]s průměrem [math]SA[/math].