Man lässt den Graph um die x-Achse rotieren. Hierbei entsteht ein sog. Rotationskörper (vgl. Button Rotationsvolumen).

Folgende Idee:[br]Zerlege das Intervall [0;24] in n äquidistante Teilintervalle der Breite [math]\frac{24}{n}[/math]. Über das i-te Teilintervall lässt sich nun ein Rechteck mit der Breite [math]\frac{24}{n}[/math] und der Länge [math]f\left(i\cdot\frac{24}{n}\right)[/math] (Funktionswert der rechten Grenze des Intervalls) konstruieren.[br]Lässt man diese Fläche nun um die x-Achse rotieren, entsteht ein Zylinder. Der i-te Zylinder besitzt die Höhe [math]\frac{24}{n}[/math] und den Radius [math]r_i=f\left(i\cdot\frac{24}{n}\right)[/math]. [br][br]Wie bestimmt man nun das Volumen des i-ten Zylinders? [br][br]Für einen Zylinder gilt [math]V_Z=\pi\cdot r^2\cdot h[/math]. Nun übertragen wir diese Formel auf unsere Funktion:[br][math]h=\frac{24}{n}[/math][br][math]r_i=f\left(i\cdot\frac{24}{n}\right)[/math][br]Somit folgt [math]V_i=\pi\cdot\left(f\left(i\cdot\frac{24}{n}\right)\right)^2\cdot\frac{24}{n}=\pi\cdot f^2\left(i\cdot\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}[/math][br][br][br]Nun müssen die Rauminhalte der einzelnen Zylinder aufsummiert werden: [br][br][math]V_{gesamt}=V_1+V_2+V_3+...+V_4=\pi\cdot f^2\left(\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}+\pi\cdot f^2\left(2\cdot\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}+\pi\cdot f^2\left(3\cdot\frac{24}{n}\right)+...+\pi\cdot f^2\left(n\cdot\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}[/math][br][math]=\pi\cdot\left(f^2\left(\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}+f^2\left(2\cdot\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}+f^2\left(3\cdot\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}+...+f^2\left(n\cdot\frac{24}{n}\right)\cdot\frac{24}{n}\right)[/math]

[br]Für [math]n\rightarrow\infty[/math] wird der Rotationskörper in unendlich viele Zylinder zerlegt, deren Höhen jeweils gegen 0 konvergieren. Der Rotationskörper wird dadurch immer besser approximiert. Summiert man die Rauminhalte der Zylinder, konvergiert diese Summe gegen das tatsächliche Rotationsvolumen. [br]Aus der obigen Berechnung ergibt sich:[br][br][math]V=\pi\cdot\int_0^{24}f^2\left(x\right)dx[/math] bzw. allgemein [math]V=\pi\cdot\int_a^bf^2\left(x\right)dx[/math]

[math]V=\pi\cdot\int_0^{24}\left(\left(0.018x^2+0.3\right)^2\right)dx=\pi\cdot\int_0^{24}\left(0.000324x^4+2\cdot0.018x^2\cdot0.3+0.09\right)dx[/math]=1784,12 VE[br][br]Das Sektglas besitzt einen Rauminhalt von 1784,12 cm³ = 1,784 dm³. Dies entspricht wohl nicht dem tatsächlichen Volumen des Glases. Wo liegt der Fehler?