[justify]Para calcular o volume de uma esfera de raio [math]r[/math], vamos utilizar o princípio de Cavalieri. Considere um cilindro equilátero de altura [math]2r[/math] e raio da base [math]r.[/math] Retirando dois cones circulares retos, de altura [math]r[/math] e raio da base [math]r[/math], cujas bases coincidem com as bases desse cilindro, obtemos o sólido A, representado na figura a seguir na cor laranja.[/justify]

[justify]O volume do sólido A é igual à diferença entre o volume do cilindro equilátero e os volumes dos dois cones circulares retos, ou seja:[/justify][math]V_A=V_{cilindro}-2V_{cone}=\pi.r^2.2r-2.\frac{1}{3}\pi r^2.r=2.\pi r^3-\frac{2}{3}\pi.r^3=\frac{4}{3}3\pi r^3[/math][br][br]

[justify]Agora, vamos considerar uma esfera E de raio [math]r[/math]e o sólido A, apoiados em um mesmo plano [math]\alpha[/math], conforme mostra a figura a seguir.[/justify]

[justify]Considere também um plano [math]\beta[/math] paralelo a [math]\alpha[/math]que secciona a esfera E e o sólido A a uma distância [math]d[/math] do centro da esfera O, como mostra a figura a seguir.[/justify]

[justify]O plano [math]\beta[/math] determina um círculo na esfera E, cujo raio indicaremos por R. Pelo teorema de Pitágoras, temos:[/justify][br][math]r^2=R^2+d^2\Longrightarrow R^2=r^2-d^2[/math][br][br]Assim, a área [math]A1[/math] do círculo é dada por:[br][br][math]A1=\pi.R^2=\pi.(r^2-d^2)[/math][br][br][justify]A secção determinada pelo plano [math]\beta[/math] no sólido A é uma coroa circular de raios[math]r[/math] e [math]d[/math] e sua área [math]A2[/math][br] é dada por:[/justify][br][math]A2=\pi.(r^2-d^2)[/math][br] [br]Logo, a o volume da esfera surge da relação dada entre:[br][br][math]V_{esfera}=Vcilindro-2Vcone[/math][br][br][math]V_{esf}=A_b.H-2.Ab.\frac{H}{2}.\frac{1}{3}[/math][br][br][math]V_{esf}=A_b.H-\frac{A_b.H}{3}\Longrightarrow V_{esf}==3A_b.H-\frac{A_b.H}{3}[/math][br][br][math]V_{esf}=\frac{2.A_b.H}{3}\Longrightarrow V_{esf}=\frac{2}{3}.\pi.r^2.2r\Longrightarrow V_{esf}=\frac{4}{3}.\pi.r^3[/math][br]

[justify]Assim, comparando [math]A1[/math]e [math]A2[/math] , verificamos que a área da secção plana da esfera E (círculo) é igual à área da secção plana do sólido A (coroa circular). Pelo princípio de Cavalieri, a esfera E tem o mesmo volume que o sólido A e, portanto, o volume V da esfera é dado por:[br][br][br][math]V=\frac{4}{3}.\pi.R^3[/math][/justify]

[justify][br]1 - Ao analisar-se um vírus em um microscópio, foi possível perceber que ele possui duas camadas, sendo a primeira camada formada por gordura e a camada central formada por material genético, conforme a imagem a seguir:[/justify]

[b]Resolução[/b][br][br][br][justify]Calcular o volume da camada azul, ou seja, de gordura, é o mesmo que calcular a diferença entre o volume da esfera maior [math]V_E[/math][sub][/sub] e o da esfera menor [math]V_e[/math][sub][/sub].[br][br][br][math]V_E=\frac{4.\pi.r^3}{3}[/math][br][br][br][math]V_E=\frac{4.3.2^3}{3}[/math][br][br][br][math]V_E=\frac{12.8}{3}\Longrightarrow V_E=\frac{96}{3}=32nm^3[/math][/justify][br][br]Agora calcularemos o volume da esfera menor:[br][br][math]V_e=\frac{4.\pi.r^3}{3}[/math][br][br][math]V_e=\frac{4.3.1^3}{3}[/math][br][br][math]V_e=\frac{12}{3}\Longrightarrow V_e=4nm^3[/math][br][br]Então a diferença entre os volumes é igual a:[br][br][math]V_E-V_e[/math] = 32 – 4 = 28 nm³

[justify]2-Um silo tem o formato de um cilindro circular reto (com fundo) sob uma semiesfera, como na figura. Determine o volume desse silo, sabendo que o raio do cilindro mede 2 m e que a altura do silo mede 8 m.[/justify]

[b]Resolução[br][/b][br][justify]O volume do silo é igual à soma dos volumes de uma semiesfera de raio 2 m e de um cilindro de raio 2 m e altura 6 m.[/justify] [math]V_{semiesfera}=\frac{\frac{4}{3}.\pi.2^3}{2}\Longrightarrow\frac{16\pi}{3}m^3[/math][br][br][br][math]V_{cilindro}=\pi.2^2.6\Longrightarrow24\pi m^3[/math][br] [br][br]Logo: [br][br][math]V_{silo}=\frac{16\pi}{3}+24\pi=\frac{88}{3}\pi\Longrightarrow V_{silo}=\frac{88\pi}{3}m^3[/math][br]

1-Calcule, aproximadamente, a capacidade em mililitros do recipiente indicado na figura. Adote [math]\pi=3,14[/math].

2-Um reservatório no formato de uma semiesfera tem 18 m de diâmetros.