1) Quader = Prisma mit rechteckiger Grundfläche[br]2) Prisma = n-Eck als Grundfläche, welches durch Parallelverschiebung entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht (hier: Prisma mit dreieckiger Grundfläche oder dreiseitiges Prisma)[br]3) Spat = schiefes Prisma

V = [math]\frac{1}{6}\cdot54[/math] = 9 VE (Vergiss das [math]\frac{1}{6}[/math] für die dreiseitige Pyramide nicht!)

Vektoren (eigentlich untereinander geschrieben):[br][math]\vec{AB}=\left(10\left|5\right|-7\right)[/math][br][math]\vec{AC}=\left(2\left|7\right|-4\right)[/math][br][math]\vec{AD}=\left(18\left|6\right|-8\right)[/math][br]V = 33 VE

[math]\vec{0A}\circ\vec{0B}=8-8=0[/math] Da das Skalarprodukt 0 ist, besitzt das Dreieck zwischen diesen Vektoren bei Punkt 0 einen rechten Winkel.

Da die Grundfläche der Pyramide (0AB) in der xy-Ebene liegt (da die z-Koordinaten 0 sind) und S die z-Koordinate 5 hat, beträgt die Höhe 5 LE.

V = [math]\frac{1}{6}\cdot\left|\left(\vec{0A}\times\vec{0B}\right)\circ\vec{0S}\right|[/math]=[math]\frac{50}{3}\approx16,7[/math]VE

[math]\vec{AB}=\left(2\left|1\right|2\right),\vec{BC}=\left(-2\left|2\right|1\right),\vec{CD}=\left(-2\left|-1\right|-2\right),\vec{DA}=\left(2\left|-2\right|-1\right)[/math] (untereinander geschrieben, da Vektoren)[br][math]\left|\vec{AB}\right|=\left|\vec{BC}\right|=\left|\vec{CD}\right|=\left|\vec{DA}\right|=3[/math] alle Seiten gleich lang[br][math]\vec{AB}\circ\vec{AD}=0[/math] rechter Winkel[br][math]\Longrightarrow[/math] das Viereck ABCD ist ein Quadrat.

[math]\vec{AS_k}=\left(k\left|1,5+2k\right|1,5-2k\right),\vec{BS_k}=\left(-2+k\left|0,5+2k\right|-0,5-2k\right),\vec{CS_k}=\left(k\left|-1,5+2k\right|-1,5-2k\right),\vec{DS_k}=\left(2+k\left|-0,5+2k\right|0,5-2k\right)[/math][math]\left|\vec{AS_k}\right|=\sqrt{k^2+\left(1,5+2k\right)^2+\left(1,5-2k\right)^2}=\sqrt{k^2+2,25+6k+4k^2+2,25-6k+4k^2}=\sqrt{9k^2+4,5}[/math] (exemplarisch, andere genauso) [br][math]\left|\vec{AS_k}\right|=\left|\vec{BS_k}\right|=\left|\vec{CS_k}\right|=\left|\vec{DS_k}\right|=\sqrt{9k^2+4,5}[/math]

(-3|-6|6) = -3[math]\cdot[/math](1|2|-2)

[math]\vec{M}=\frac{1}{2}\left(\vec{A}+\vec{C}\right)=\left(-1\left|3,5\right|0,5\right)[/math] (Vektor, untereinandergeschrieben) [br]M(-1|3,5|0,5)[br][math]\vec{MS_k}=\left(k\left|2k\right|-2k\right)=k\cdot\left(1\left|2\right|-2\right)[/math][br][math]\vec{MS_k}[/math] und [math]\vec{AB}\times\vec{AD}[/math] sind Vielfache desselben Vektors, sind also parallele Pfeile, da das Kreuzprodukt einen Vektor gibt, der senkrecht auf den Vektoren liegt.[br]Also gibt [math]\left|\vec{MS_k}\right|[/math]die Höhe der Pyramide an.[br](siehe Applet)[br]

Möglichkeit 1 wie in der 9. Klasse: V = [math]\frac{1}{3}[/math][math]\cdot[/math]G[math]\cdot[/math]h=[math]\frac{1}{3}\cdot3\cdot3\cdot\left|\vec{MS_k}\right|=\frac{1}{3}\cdot3\cdot3\cdot\left|k\right|\cdot3=9\cdot k[/math][br]Möglichkeit 2 mit Vektorprodukt: V = [math]\frac{1}{3}\cdot\left|\left(\left(2\left|1\right|2\right)\times\left(-2\left|2\right|1\right)\right)\circ\left(k\left|1,5+2k\right|1,5-2k\right)\right|=9k[/math]

Falsch, es genügt ein Gegenbeispiel: A(0|0|0), B(2|1|3), C(4|2|5), D(2|1|2)[br][math]\left|\vec{AB}\times\vec{AD}\right|=\surd5[/math][br](da durch die Wurzel auch eine reelle Zahl entstehen kann)

Richtig, da sowohl das Vektorprodukt in der Rechnung (nur Multiplikation und Subtraktion) als auch das Skalarprodukt (Multiplikation und Addition) bei ganzen Zahlen nur ganze Zahlen liefert.