L'app di seguito visualizza il grafico della funzione lineare [math]f\left(x\right)=0.5x+1[/math] per [math]x\ge0[/math].[br]L'ordinata del punto rosso visualizzato nel grafico è [math]f\left(0\right)[/math].[br]Utilizza lo slider per mostrare nel grafico alcuni punti ad ascissa intera di [math]f\left(x\right)[/math], e visualizzarne le coordinate nella tabella sotto al grafico.[br][br]Trascina lo slider al valore massimo, e osserva la tabella di valori.[br]Noti qualcosa in particolare?[br][i]Ogni termine è la somma del precedente e 0.5[/i]![br]Formalizzando, diremo che [math]f\left(1\right)=f\left(0\right)+0.5[/math], [math]f\left(2\right)=f\left(1\right)+0.5[/math], e così via.[br][br][b]Nota[/b]: Puoi modificare la funzione in ogni istante, trascinando i due punti su di essa. Esplora la relazione che intercorre tra due termini consecutivi della successione di valori, e confrontala con l'espressione della funzione.[br]
Considera la funzione lineare [math]f\left(x\right)=0.5x+1[/math] e sia [math]n\in\mathbb{N}[/math].[br]Mostra che [math]f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+0.5[/math].
[math]f\left(n+1\right)=0.5\left(n+1\right)+1=0.5n+0.5+1=\left(0.5n+1\right)+0.5[/math][br]Poiché [math]f\left(n\right)=0.5n+1[/math], possiamo concludere che [math]f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+0.5[/math]
Abbiamo ora una formula ricorsiva che mostra la relazione tra due valori assunti della funzione in due punti che distano 1 unità uno dall'altro:[br][center][math]f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+0.5[/math].[br][/center]Possiamo leggere la formula come "[i]la funzione lineare cresce additivamente di[/i] 0.5 [i]unità in ogni intervallo di lunghezza[/i] 1 [i]unità[/i]".
L'esempio che abbiamo esaminato per ragionare sul tasso di crescita di una funzione lineare è la restrizione di una funzione lineare nell'intervallo [math]x\ge0[/math], e in seguito abbiamo considerato valori interi della [i]x[/i] per semplificare il ragionamento, ma le stesse considerazioni valgono per ogni [math]x\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Generalizzando la formula ottenuta in precedenza per ogni funzione lineare nella forma [math]f\left(x\right)=mx+q[/math] , possiamo dire che queste funzioni crescono additivamente di [math]m[/math] unità in ogni intervallo lungo 1 unità.[br][br]Inoltre, esse crescono additivamente di [math]m\ell[/math] unità in ogni intervallo lungo [math]\ell[/math] unità.[br][i]Dimostrazione[/i]: [br][math]f\left(x+\ell\right)=m\left(x+\ell\right)+b=mx+m\ell+b=\left(mx+b\right)+m\ell=f\left(x\right)+m\ell[/math][br][br][center][b][i]Funzioni lineari[/i] → [i]Crescita additiva[/i][/b][/center]