Wie groß ist der Abstand zwischen den Punkten [math]P\left(1|-2\right)[/math] und [math]Q\left(-2|2\right)[/math]?[br][br][b]1)[/b] Klicke dich durch Applet 1 und [b]beschreibe[/b] auf ein leeres Blatt, wie der Abstand zweier Punkte in der Ebene bestimmt werden kann. [br][br][b]2) Schreibe[/b] die Rechenschritte für den Abstand zwischen den Punkten [math]P\left(1|-2\right)[/math] und [math]Q\left(-2|2\right)[/math] unter den folgenden Überschriften mit: [br][b][br]1. Abstand der x-Koordinaten bestimmen[br]2. Abstand der y-Koordinaten bestimmen[br]3. Werte in die angepasste Pythagoras-Formel einsetzen[br]4. Berechnung des Abstands mit Hilfe der Pythagoras-Formel[/b]

Bekannt ist der Satz des Pythagoras [math]a^2+b^2=c^2[/math], hier angewendet in der Form [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math].[br]Im oberen Beispiel ist [math]a^2[/math] nichts anderes als die x-Koordinate des einen Punktes minus die x-Koordinate des anderen Punktes zum Quadrat, also [math]\left(x_2-x_1\right)^2[/math]. Das Gleiche gilt für y-Koordinaten, sodass der Satz des Pythagoras auch geschrieben werden kann als [math]c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(x_2-x_1^{ }\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}[/math].

Wir wenden das [b]gleiche Prinzip nun auch im Raum[/b] an - nur mit einer Koordinate mehr. Die Idee: Der Abstand zwischen zwei Punkten [math]P\left(x_1|y_1|z_1\right)[/math] und [math]Q\left(x_2|y_2|z_2\right)[/math] könnte durch [math]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}[/math] berechnet werden: Die [b]z-Koordinaten[/b] werden [b]genauso behandelt wie die beiden anderen Koordinaten.[/b][br][br]Wählen wir als Punkte [math]P\left(1|2|3\right)[/math] und [math]Q\left(-1|3|1\right)[/math]. [br][br][b]1)[/b] Klicke dich durch das Applet und lies die unterstehenden Beschreibungen mit. [br][br][b]2) Schreibe[/b] die Rechenschritte für den Abstand zwischen den Punkten [math]P\left(1|2|3\right)[/math] und [math]Q\left(-1|3|1\right)[/math] unter den folgenden Überschriften mit: [br][b][br]1. Abstand der x-Koordinaten bestimmen[br]2. Abstand der y-Koordinaten bestimmen[br]3. Abstand der z-Koordianten bestimmen[br]4. Werte in die angepasste Pythagoras-Formel einsetzen (Ganz unten zu finden: d=...)[br]5. Berechnung des Abstands mit Hilfe der Pythagoras-Formel[br][/b][br]Jeder Schritt ist unterhalb des GeoGebra-Sheets noch einmal erläutert.

Der erste Schritt ist das [b]Einzeichnen[/b] des zu berechnenden [b]Abstandes[/b]. [br][br]Schaut euch zudem an, wie die beiden Punkte ungefähr positioniert sind. Dreht dafür die 3D-Darstellung. [br][br]Mit einem Klick auf den Knopf "Kamera schräg" könnt ihr die Kamera wieder zurückdrehen (die Position ist dann korrekt, wenn die x-Achse nach unten links zeigt).

Wir [b]ignorieren zunächst die z-Komponente[/b] und betrachten die Punkte [math]P_H\left(1|2\right)[/math] und [math]Q_H\left(-1|3\right)[/math] (H steht für "Hilfe", es handelt sich um Hilfspunkte). [br][br]Klickt ihr auf den Knopf [b]"Kamera von oben"[/b], stellt ihr fest, dass die Hilfspunkte und die richtigen Punkte aus dieser Perspektive nicht unterscheidbar sind. [br][br]Das ist gut so, denn jetzt können wir zunächst wie oben in 2D den Satz des Pythagoras anwenden:[br][math]x_1=1[/math], [math]y_1=2[/math], [math]x_2=-1[/math], [math]y_2=3[/math], dann folgt:[br][math]d_H=\sqrt{\left(\left(-1\right)-1\right)^2+\left(3-2\right)^2}=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(1\right)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx2,24[/math]

Nun haben wir die Länge der Hilfsstrecke herausgefunden. Mit Hilfe eines Perspektivwechsels können wir diese Hilfsstrecke nutzen.[br]Führt dazu den Perspektivwechsel aus: Betätigt zunächst den Knopf, der die Kamera in eine seitliche Ansicht fährt. Wir sehen jetzt die violette Strecke unten und können die z-Komponente von P und Q deutlich sehen.[br][br]Startet anschließend die Animation mit dem gleich benannten Knopf. Ihr seht, wie sich die violette Gerade nach oben verschiebt, wodurch erneut ein rechtwinkliges Dreieck gebildet wird. In diesem Dreieck kennen wir zudem die Längen der beiden Katheten:[br]Die violette Kathete hat die Länge [math]\sqrt{5}[/math], die senkrechte (orangene) Kathete hat die Länge [math]3-1=2[/math].

Nun haben wir zwei Katheten und können den Satz des Pythagoras anwenden:[br][math]d=\sqrt{\sqrt{5}^2+2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3[/math].[br]Damit ist der Abstand zwischen den Punkten P und Q 3.[br][br]Daraus folgt insgesamt die folgende Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum: [br][br][math]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}[/math]

[b]Fertig? [/b]Bearbeite im Arbeitsheft S. 51.