Uma mesma expressão aritmética ou algébrica pode ter várias representações. Por exemplo, como vimos na seção sobre identidades, [br][center][math]\left(x-1\right)^2=x^2-2x+1[/math].[/center][br]Normalmente, quando vamos responder a uma questão, preferimos usar a expressão mais simples, isto é, a que seja menor, ou a que possua menos redundância ou a que torna as propriedades da expressão mais claras. No exemplo acima, além de [math]\left(x-1\right)^2[/math] ser uma expressão mais curta, fica evidente que a resposta é sempre maior ou igual que zero para todo [math]x[/math], o que não é tão óbvio para a expressão [math]x^2-2x+1[/math]. O processo de obter uma representação mais simples de uma dada expressão é denominado [i]simplificação.[br][/i][br][br]A simplificação também é útil para comparar respostas diferentes. Por exemplo, suponha que para uma certa questão um aluno obteve a resposta [math]\frac{1}{\sqrt{2}-1}[/math] enquanto outro aluno obteve a resposta [math]\sqrt{2}+1[/math], qual deles acertou? Ambos acertaram, pois [br][center][math]\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=[br]\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{2}+1[/math].[/center]Mas a expressão do segundo membro é mais curta e deixa claro que a resposta é maior que [math]1[/math], por exemplo, ao contrário da expressão do primeiro membro. Além disso, [i]se todos os alunos simplificarem suas respostas, o processo de correção também é simplificado[/i], pois o professor não precisará perder tempo verificando a igualdade das diversas expressões.[br][br]Não é possível listar todas as regras de simplificação, até porque elas dependem do contexto, mas existem algumas regras que sempre devemos seguir. Vejamos as principais através de exemplos:[br]

[b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]8x^2 – 32x – 24[/math].[br][br][center][math][br]8x^2 – 32x – 24=8(x^2-4x-3)[br][/math][/center][br][br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]5a^2b^3c^4 + 15 abc + 50a^4bc^2[/math].[br][br][center][math][br]5a^2b^3c^4 + 15 abc + 50a^4bc^2=5abc(ab^2c^3+10a^3c+3)[br][/math][/center][br][br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]a^3-5a^2-a+5[/math].[br][br][center][math][br]a^3-5a^2-a+5=a^2(a-5)-(a-5)=(a-5)(a^2-1)[br][/math][/center]

[b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]2x^3\times 5x^7[/math].[br][br][center][math][br]2x^3\times 5x^7=(2\times 5)\left(x^3\times x^7\right)=10x^{10}[br][/math][/center][br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]2x^3\times 5x^7[/math].[br][br][center][math][br]2x^3\times 5x^7=(2\times 5)\left(x^3\times x^7\right)=10x^{10}[br][/math][/center][br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\frac{2a^5}{b^2}\div \frac{7a^3}{b} [/math].[br][br][center][math][br]\dfrac{\frac{2a^5}{b^2}}{\frac{7a^3}{b}} =\frac{2a^5}{b^2}\times\frac{b}{7a^3}=\frac{2}{7}\frac{a^5b}{a^3b^2} =\frac{2}{7}\frac{a^2}{b}[br][/math][/center][br]Note que aqui estamos assumindo implicitamente que [math]b\neq 0[/math], pois o denominador de uma fração é sempre diferente de zero.[br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math](-2a^2b^3)^2\div(a^3b)^2\times 3a^5b[/math].[br][br][center][math][br](-2a^2b^3)^2\div(a^3b)^2\times 3a^5b=4a^4b^6\times\frac{1}{a^6b^2}\times3a^5b = 12a^3b^5[br][/math][/center][br]Aqui também estamos assumindo implicitamente que [math]a\neq 0[/math] e [math]b\neq 0[/math], pois só podemos dividir por um número não nulo.[br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\sqrt{45}[/math].[br][br][center][math][br]\sqrt{45}= (3^2\times 5)^{\frac{1}{2}}=3^1\times 5^{\frac12}=3\sqrt{5} [br][/math][/center][br]

[b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\frac{9}{16}\times\frac{10}{21}[/math].[br][br][center][math][br]\frac{9}{16}\times\frac{10}{21}= \frac{3\times 3\times 2 \times 5}{2\times 8\times 3\times 7}=\frac{3\times 5}{7\times 8}=\frac{15}{56}[br][/math][/center][br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\frac{2}{\sqrt{2}}[/math].[br][br][center][math][br]\frac{2}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}[br][/math][/center][br][br][b]Antiexemplo 1:[/b] Simplifique [math]\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}[/math].[br][br][center][math][br]\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{\cancel{x^2}+2x+1}{\cancel{x^2}-1}=\frac{2x+1}{-1}=-2x-1 [br][/math][/center][br]Essa conta está errada, pois só podemos cancelar [i]fatores comuns[/i], e não parcelas iguais no numerador e denominador.[br][br][b]Antiexemplo 2:[/b] Simplifique [math]\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}[/math].[br][br][center][math][br]\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1} [br][/math][/center][br]Aqui também temos um erro, embora mais sutil. As identidades foram aplicadas corretamente, mas [i]só podemos cancelar fatores não nulos[/i]. Quando [math]x=-1[/math] temos que [math]x+1=0[/math].[br]Quando simplificamos expressões algébricas, [i]devemos indicar explicitamente quais valores das variáveis são permitidos[/i], pois caso contrário a equação não é válida sempre. Por exemplo, na equação acima, para [math]x=-1[/math] o valor do primeiro membro não está definido (o denominador se anula), mas o valor do segundo membro é [math]\frac{-1+1}{-1-1}=0[/math]. [br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}[/math].[br][br][center][math][br]\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}, \text{ se }x\neq -1 [br][/math][/center][br]Agora estamos indicando os valores da variável [math]x[/math] que resultam em uma igualdade entre os dois membros da equação.

[b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}[/math].[br][br][center][math][br]\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=[br]\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}[br][br][/math][/center]O truque aqui é aplicar a identidade da diferença de quadrados, multiplicando numerador e denominador por [math]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/math].[br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\frac{x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}}[/math].[br]Note que neste caso podemos assumir que [math]x+1> 0[/math], pois caso contrário a expressão não faz sentido.[br]Assim, [br][center][math][br]\frac{x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}}\cdot\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=[br]\frac{x\sqrt{(x^2-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}[br][/math][/center][br]A tentação quando vemos uma expressão da forma [math]\sqrt{a^2}[/math] é escrever [math]\sqrt{a^2}=a[/math], mas isso é [i]falso[/i], pois teríamos por exemplo que [math]\sqrt{(-2)^2}=-2[/math], quando de fato [math]\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2[/math]. O melhor que podemos fazer, portanto é escrever, [math]\sqrt{a^2}=|a|[/math], ou no denominador do segundo membro acima, [math]\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|[/math]. Mas no caso particular, como estamos assumindo que [math]x+1> 0[/math], [math]|x+1|=x+1[/math]. Assim,[br][center][math][br]\frac{x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}}=[br]\frac{x\sqrt{(x^2-1)(x+1)}}{x+1}[br][/math][/center][br]Podemos simplificar um pouco mais notando que [br][center][math][br]\sqrt{(x^2-1)(x+1)}=\sqrt{(x-1)(x+1)(x+1)}=\sqrt{(x-1)(x+1)^2}=(x+1)\sqrt{x-1}[br][/math][/center][br]Mais uma vez, usamos o fato que [math]x+1> 0[/math]. Finalmente,[br][center][math][br]\frac{x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}}=[br]\frac{x(x+1)\sqrt{x-1}}{x+1}=x\sqrt{x-1}.[br][/math][/center][br][br][b]Exemplo:[/b] Simplifique [math]\frac{7}{\sqrt[3]{4}}[/math].[br][br][center][math][br]\frac{7}{\sqrt[3]{4}} = \frac{7}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{7}{\sqrt[3]{2^2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{7\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{7\sqrt[3]{2}}{2}.[br][/math][/center][br]Note que, ao contrário do caso da raiz quadrada, temos sempre que [math]\sqrt[3]{a^3}=a[/math].

Vamos treinar os conceitos acima com algumas questões.[br][br]Simplifique as seguintes expressões:[br][list=1][br][*] [math]\frac14+\frac23-\frac35[/math][/*][br][*] [math]\frac{3a-1}{2}-\frac{a+2}{4}[/math][/*][br][*] [math]\frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}\text{, se }x\neq 0[/math][/*][br][*] [math]\frac{3x^2-3x}{3x^3-6x^2+3x}\text{, se }x\neq 0,1[/math][/*][br][*] [math]\frac{(5x^3y^4)^2\times (4x^4y)^3}{(2x^6y^3)^6}[/math][/*][br][*] [math]\frac{a^6+a^4+a^2+1}{a^3+a^2+a+1}[/math][/*][br][*] [math]\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}[/math][/*][br][*] [math]\frac{2}{1+\sqrt[3]{4}}[/math][/*][br][*] [math]\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}[/math][/*][br][/list]