A G-modell saját eljárásai között mindössze kettőnek nincs megfelelője a (középiskolai) euklideszi geometriában, ezért célszerű ezek tulajdonságaival és alkalmazási lehetőségeikkel kissé alaposabban megismerkedni. Ez a [b]Pólus() [/b]és [b]Poláris()[/b] eljárás.

A [b]GPoláris(A) [/b]utasítás az alapgömb [b]A[/b] pontjához azt G-egyenest rendeli, amelyet az [i]AA' [/i]szakaszfelező merőleges síkja az alapgömbből metsz ki, ahol [b]A[/b]' az [b]A[/b] átellenes pontja. [br]Így [b]A'[/b]-nek ugyanaz a polárisa, mint [b]A[/b]-nak.[br][br]A [b]GPólus(a) [/b]utasítás az [b]a[/b] G_egyeneshez, - vagy G-körhöz - hozzárendeli az alapgömb középpontjára a tér [b]a [/b]síkjára merőleges és az alapgömb középpontjára illeszkedő egyenesnek az alapgömbbel alkotott metszéspontjait, tehát két átellenes pontot, (G-kör esetében ezek a G-kör középpontjai.)[br][br] Ha úgy tekintjük, hogy a [b]GPoláris(()[/b] bemenő adata az [b](A,A')[/b] átellenes pontpár, és a [b]GPólus() [/b]eredménye is egy pontpár, akkor ez a két művelet egymás[i] inverze[/i], azaz[b] Gpólus(Gpoláris((A,A'))=(A,A') [/b]és [b]GPoláris(GPólus(p) =p [/b] ahol [b](A,A')[/b] egy átellenes pontpár,[b] [i]p[/i] [/b]egy tetszőleges G-egyenes.[br][br]Ha [b]k[/b] egy G-kör, akkor persze az [b]e=[/b][b]GPoláris(GPólus(k)I [/b]G-egyenes és [i][b]k [/b][/i]síkjai párhuzamosak.

Legyen [b][color=#ff0000]A[/color][/b] (fix) és [b][color=#0000ff]B[/color] [/b](mozgatható) általános helyzetű (vagyis egymással nem átellenes) G-pont, ezek polárisai [b][color=#ff0000]a[/color][/b] ill. [b][color=#0000ff]b[/color][/b] , ezek metszéspontjai [color=#ff0000][b]C[/b][/color] és [color=#6aa84f][b][i]D[/i][/b]. [/color][color=#333333]A [/color][color=#333333][b]GMetszéspontKK(a,b) [/b][/color][color=#333333]eljárással kapott pontok elnevezéseit és színeit a két bemenő adat ([b]a[/b] és [b]b[/b]) sorrendje határozza meg. Az [b]A[/b] és[b] B[/b] pontokkal átellenes pontok polárisainak a metszérpontjai is ugyanezek a pontok lesznek.[br][br]Legyen továbbá [/color][b]c=GEgyenes(A,B)[/b][color=#333333] ,[b] c[/b] Pólusai [/color][b][color=#ff0000]E[/color][/b][color=#333333] és [/color][color=#6aa84f][b]F[/b][/color][color=#333333] ! Itt is az a két szín különbözteti meg a két kapott pólust. (Ezek felcserélését [/color][b]A[/b][color=#333333] és [/color][b]B[/b][color=#333333] felcserélésével érhettük volna el.) [br][br]Az alábbi applet szerint [/color][b][color=#38761d]C=E [/color][/b][color=#333333]és [/color][b][color=#ff0000]G=F[/color][/b][color=#333333] . Általában egy G-egyenes pólusaira illeszkednek az egyenesre illeszkedő pontok polárisai, és merőlegesek az adott egyenesre.[br][br]Egy G-egyenes bármely pontja és az egyenes bármely pólusa olyan egy kvadátnyi szakaszt alkot, amely merőleges az adott egyenesre.[br][/color]

Mint [color=#333333][url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/ybgxgbqa]itt már láttuk[/url], egy G-egyenest két pontja és ezek átellenes pontjai négy G-szakaszra bontják. [br]Ugyanígy két G-egyenes az alapgömb felületét is négy gömbkétszögre bontja.[br] [br][/color][color=#333333]Ezek közül melyiket tekintsük az[b] e=GSzakasz(A,B)[/b] (gömbi főkörív) polárisának?[br][br]Egyértelműen meghatározott[/color] az [b]e=AB[/b] G-szakasz szakaszfelező merőleges G_egyenese. Ez egyben két - egymással szemközti - gömbkétszögnek is a szimmetriatengelye. Ezek közül tekintsük azt [b]AB [/b]polárisának azt, amelyik [u]tartalmazza[/u] [b] AB[/b] felezőpontját. (Magát [b]AB[/b]-t csak abban az esetben, ha kisebb a negyedkörívnél. [br][br]Hamarosan látni fogjuk, hogy ez a választás valóban praktikus, több szempontból is. (Egyben megegyezik az általánosan elfogadott gyakorlattal.)[br][br]Azt azonban máris megállapíthatjuk, hogy az [b]AB[/b] G-szakasz hossza - ami lényegében az [i](A,(0,0,0),B)∢ -[/i] és a polárisaként kapott gömbkétszög szöge [u]kiegészítő szögpárt[/u] alkotnak.[br][br]Speciális esetben, ha [b]AB[/b] kvadráns, azaz [i](A,(0,0,0),B)∢ =90° ,[/i] akkor[i] A∈ b [/i]és B∈a, vagyis A,B és D olyan - szabályos - háromszög, amelynek az oldali kvadránsok, szögei derékszögek.

Az imént rögzített [i]G-szakasz [b]↔[/b] gömbkétszög[/i] kapcsolatot elfogadva, felhasználva alakíthatjuk ki a gömbháromszög poláris gömbháromszögének a fogalmát.[br][br]Legyen [b][color=#ff0000]A[/color], [color=#6aa84f]B,[/color][color=#1e84cc] C[/color][/b]egy G-háromszög három csúcsa, melyek egyértelműen meghatározzák a háromszög [b][color=#ff0000]a[/color][color=#333333], [/color][color=#38761d]b[/color][color=#333333], [/color][color=#0000ff]c [/color][/b][color=#333333]oldalait képező G-szakaszokat! [/color][br]Rendre képezzük az [b][color=#ff0000]a, [/color][color=#38761d]b[/color][color=#6aa84f],[/color] [color=#1e84cc]c[/color] [/b]-hez polárisként hozzárendelt gömbkétszögeket. Ezek közül válasszuk ki azokat, amelyek rendre tartalmazzák az [b]a, b, c [/b]G[b]-[/b]szakaszok felezőpontjait. Ezek közös része egy olyan gömbháromszög lesz, amelynek a csúcsai rendre az [b][color=#ff0000]a, [/color][color=#38761d]b[/color][color=#6aa84f],[/color] [color=#1e84cc]c [/color][/b]szakaszok pólusai ([b][color=#ff0000]P[sub]a[/sub],[/color] [b][color=#38761d]P[sub]b[/sub][/color], [/b][b][color=#0000ff]P[sub]c[/sub][/color][/b][/b]), oldalegyenesei az [b][color=#ff0000]A[/color], [color=#6aa84f]B,[/color][color=#1e84cc] C[/color][/b]pontok polárisai, oldalai az így kapott pontok által meghatározott G-szakaszok. [br][br]Ha ehhez a hozzárendeléshez azokat a gömkétszögeket használjuk, amelyek[u] nem tartalmazzák [/u]a háromszög oldalainak a felezőpontjait, akkor eredményül az előzőleg kapott gömbháromszög átellenes ([b][color=#ff0000]Q[sub]a,[/sub][/color]Q[b][sub]b,[/sub][color=#0000ff]Q[/color][/b][b][color=#0000ff][sub]c[/sub][/color][/b][/b]) gömbháromszögét kapjuk.

A fenti applet alaphelyzetében az ABC Δ olyan [i]szabályos[/i] G-háromszög, amelynek oldalai és szögei is derékszögek. Így éppen egybeesik a P ,vagy Q jelölőnégyzettel bekapcsolható duálisával. [br][br]Mint korábban már tapasztalhattuk, a háromszöglapok megjelölése (színezése) sok számolást igényel, ezért az A,B,C pontok mozgatása előtt kapcsoljuk ki a lapok megjelenítését.