[b][color=#ff0000][size=50][right]Wenn das 6-Eck nicht angezeigt wird, den refresh-button betätigen![br]Die Regler für die Parameter des Ovals sind nur mit Vorsicht zu gebrauchen.[br]Es können "falsche" Blder auftreten: z.B. Kreise, die nicht berühren.[br][/right][/size][/color][/b]

[size=50][right]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechsecknetze[/url].[size=50][br]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/size][/right][/size][b][br]Walter Wunderlich[/b] [size=85]hat [b]1938[/b] über ein "[i][b]Besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen[/b][/i]" berichtet ("mit 2 Textfiguren"!).[/size] [br][size=85]Seine [b][i]Textfiguren[/i][/b] illustrieren die Aussage: "Aus drei Reihen doppelt berührender Kreise [br]eines zwei-teiligen [b]Cartesischen Ovals[/b] läßt sich ein Dreiecksnetz aufbauen."[/size][br][size=85]Oben ist ein [/size][size=85][size=85][b]Cartesischen Oval[/b][/size] mit der impliziten Gleichung[br][/size][list][*][math]\left(\left( 1-m^2\right)\cdot\left( x^2+y^2\right)+2m^2c\cdot x+a^2-m^2 c^2\right)^2-4a^2\cdot\left(x^2+y^2\right)=0[/math][br][/*][/list][size=85]angezeigt. Ein [b]Cartesisches Oval[/b] ist eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] mit in der Regel 4 [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color]. [br]Oben liegen diese [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size] auf der [math]x[/math]-Achse, speziell ist [math]F_0=(0,0)[/math], [math]F_1=(c,0)[/math] und [math]F_4=\infty[/math]. [br]Der [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color][/size] [math]F_2[/math] ergibt sich aus den folgenden Eigenschaften, die wir ohne Nachweis zusammentragen.[/size][br][list][*][size=85]Das [b]Cartesische Oval[/b] ist der Ort der Punkte [math]P[/math], für welche folgende lineare Abstandsgleichungen gelten: [math]|F_0,P|\pm m\cdot|F_1,P|=\pm a[/math][/size]. [br][size=85]Diese Eigenschaften sind nützlich in der Optik.[/size][/*][br][*][size=85]In der Regel besitzen obige Quartiken 4 paarweise orthogonale [i][b][color=#f1c232]Symmetriekreise[/color] [/b][/i](einer davon ist imaginär). [br]Die [/size][size=85][size=85][i][b][color=#f1c232]Symmetriekreise[/color][/b][/i][/size] kann man mit Hilfe der Scheitelpunkte auf der [/size][math]x[/math][size=85]-Achse [br]und den zugehörigen Scheitelkreisen konstruieren. Mit ihrer Hilfe findet man auch den 4. [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[/size][/*][br][*][size=85]Zu jeder Symmetrie gehören [i][b]doppelt-berührende[/b][/i] Kreise. Die Quartik ist Hüllkurve dieser Kreisscharen.[/size][/*][br][*][size=85]Zeichnet man einen der Brennpunkte aus, so kann man zur Konstruktion dieser Ovale [br]und ihrer doppelt-berührenden Kreise folgende Eigenschaft nutzen: [/size][br][list][*][size=85]Für jede [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] liegen die Spiegelbilder des ausgezeichneten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkts[/b][/i][/color] [br]bezüglich der zugehörigen doppelt-berührenden Kreise auf einem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color].[/size][br][/*][/list][/*][*][size=85]Wählt man [/size][math]\infty[/math] [size=85]als ausgezeichneten [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color][/size], so sind die 3 von der [/size][math]x[/math]-[size=85]Achse verschiedenen [br][/size][size=85][size=85][i][b][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/b][/i][/size] konzentrisch![/size]  [br][/*][/list][size=85]Durch jeden Punkt im "Inneren" der Quartik (d.h. hier zwischen den Ovalen) gehen [b]3*2[/b] doppelt-berührende Kreise.[/size][size=85] [br]Die 3 Kreis-Paare gehören zu 3 der 4 Symmetrien. [br]Wählt man[/size][size=85] von diesen 3 Kreis-Schar-Paaren je eine Schar aus, so entsteht ein [i][b]6-Ecknetz[/b][/i]. [br][/size][size=85]Zur Konstruktion dienen die [i][b][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/b][/i] und die zugehörigen Symmetrien: die Mittelpunkte [br]der doppelt-berührenden Kreise liegen auf den [i][b][color=#0000ff]Leitkreisen[/color][/b][/i].[/size][br][br][color=#274E13][size=85]Man kann die Kreise in Bewegung setzen - es entsteht Chaotisches, da die Kreise sich überlagern [br]und manche sich komplex verabschieden. Erstaunlich ist allerdings, dass meist die geordneten Verhältnisse [br]zurückkehren, trotz unvermeidbarer Rechenungenauigkeiten und langer Rechenketten. [br]Zur Not hilft der [color=#cc0000][i][b]refresh[/b][/i][/color]-Button! [br]Ein Lob auf die Tragfähigkeit von [b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra[/b]![/size][/color][br][br][size=50][u][i][b]Literatur:[/b][/i][/u] Walter Wunderlich "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen". Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 1938 [/size][br][size=50][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_oval]Cartesian oval (wikipedia)[/url][br][br][/size]