Bestimmen Sie das globale Verhalten und die Symmetrie der angegebenen Funktionen.[br]a) f(x)=3x⁴-2x²+3[br]b) f(x)=-2x⁴+2x³+2x-1[br]c) f(x)=4x³+ 5x
a) [math]\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\infty[/math] und [math]\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\infty[/math]. Achsensymmetrisch zur y-Achse[br]b) [math]\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math]und [math]\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math]. Keine Symmetrie[br]c) [math]\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\infty[/math] und [math]\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math]. Punktsymmetrie zum Ursprung
Beschreibe wie die Funktion f(x)=-4(x-3)⁴-2 aus x⁴ hervorgeht.
1. Streckung in y-Richtung mit Faktor 4[br]2. Spiegelung an der x-Achse[br]3. Verschieben um 3 in x-Richtung (nach rechts)[br]4 Verschieben um -2 in y-Richtung (2 nach unten)
Löse die Gleichung x⁴=9x²
1. Auf einer Seite =0 durch umformen erzeugen (-9x² auf beiden Seiten)[br]2. x² ausklammern[br]3. Satz vom Nullprodukt anwenden[br]4. [math]x^2=0[/math] und [math]x^2-9=0[/math][br]5. Beide Gleichungen einzeln lösen.[br][br][math]x_1=0,x_2=0,x_3=3,x_4=-3[/math]
Berechne die Koordinatenschnittpunkte der Funktion [math]f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^3+2x^2[/math].
y-Achsenabschnitt: f(0)=0 [math]\Longrightarrow[/math] [math]S_y\left(0\mid0\right)[/math][br]Nullstellen: f(x)=0 [math]\Longrightarrow[/math] [math]-\frac{3}{2}x^3+2x^2=0[/math][br]Gleichung lösen liefert: [math]x_{_{1,2}}=0,x_3=\frac{4}{3}[/math][br]Also [math]N_1\left(0\mid0\right)[/math] doppelte Nullstelle und [math]N_2\left(\frac{4}{3}\mid0\right)[/math] einfache Nullstelle.
Stelle für die Funktion [math]f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^3+2x^2[/math] die Produktform auf.
1. Nullstellen (mit Vielfachheit) berechen (siehe Frage 4) [math]x_{1,2}=0,x_3=\frac{4}{3}[/math][br]2. Koeffizient des dominierenden Summanden aufschreiben [math]a=-\frac{3}{2}[/math][br]3. Produktform aufschreiben[br][math]f\left(x\right)=-\frac{3}{2}\left(x-0\right)^2\left(x-\frac{4}{3}\right)=-\frac{3}{2}x^2\left(x-\frac{4}{3}\right)[/math]
Eine Funktion 4. Grades hat die einfache Nullstelle x=2 und die doppelte Nullstelle x=-1.[br]Außerdem verläuft die Funktion durch den Punkt P(3|4). Stellen Sie einen Funktionsterm auf.
f(x)=a(x-2)(x+1)² [br][br]Punkt P einsetzen und nach a auflösen.[br]a=[math]\frac{1}{4}[/math][br][br]f(x)=[math]\frac{1}{4}[/math](x-2)(x+1)²
Forme die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{1}{4}\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2[/math] in die Hauptform (allgemeine Form) um.
Klammern ausmultiplizieren. [br][br][math]f\left(x\right)=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}[/math]
Berechne die Schnittpunkte der Funktionen f(x)=x³-3x und g(x)=x.
Gleichsetzen: f(x)=g(x) liefert x³-3x=x.[br]Gleichung lösen[br][math]x_1=0,x_2=2;x_3=-2[/math][br]Jeweils die x-Werte in eine der Funktionen einsetzen liefert die y-Werte (Funktionswerte)[br]Schnittpunkte sind: [math]S_1\left(0\mid0\right),S_2\left(2\mid2\right),S_3\left(-2\mid-2\right)[/math]
-Ihr solltet eine Vorstellung vom Aussehen (grober Verlauf) der Potenzfunktionen haben.[br]-Die besprochenen Formen von Gleichungen lösen können (Ausklammern, Satz vom Nullprodukt, pq-Formel oder durch Umformungen)[br]-Funktionen zeichnen bzw. skizzieren können.[br]- Basics, wie Rechenregeln, Termumformungen, Klammern lösen, Punktprobe werden vorausgesetzt.