Determine a função [math]u\left(x,y\right)[/math] que satisfaz a equação de Laplace:[br][br][center][math]u_{xx}+u_{yy}=0[/math],[br][/center]

no retângulo 0<x<3 , 0<y<2, que satisfaz as condições de contorno: [br] [math]u\left(x,0\right)=0[/math], [math]u\left(x,2\right)=0[/math], 0 < x < 3;[br][br] [math]u\left(0,y\right)=0[/math], [math]u\left(3,y\right)=f\left(y\right)[/math], 0 [math]\le[/math] y [math]\le[/math] 2,[br]onde [math]f(y)=y[/math], 0 [math]\le[/math]y[math]\le[/math]1 e [math]f(y)=2-y[/math], 1 [math]\le[/math]y [math]\le[/math]2.

Solução:[br][center][math]u\left(x,y\right)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{^{\infty}}\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\frac{\left(-1\right)^n}{senh\left(\frac{3\left(2n+1\right)\pi}{2}\right)}senh\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi x}{2}\right)sen\left(\frac{\left(2n+1\right)\pi y}{2}\right)[/math].[/center]