このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br]量子力学の表記のひとつにブラとケットがある。[br]今回は、ディラックのブラとケットの代数をみてみよう。[br][br]

[b][size=150]＜ブラとケットの内積がブラケット＞[br][/size][/b]ベクトルの内積を表すための記号として、[br]状態関数φ[color=#0000ff]ｊ(x)を[/color]列ベクトル[math]\left(\begin{matrix}d1\\d2\\.\\dj\\...\\.\\dn\\\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff]=[b]|φｊ＞とかき、[/b]ケットという。[/color][br]観測のための関数φ[color=#0000ff]i*(x)を[/color]行ベクトル[math]\left(\begin{matrix}c1*,c2*,....ci*,...,cm*\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff]=[b]＜[/b][/color][b]φ[/b][b]i|とかき、[/b][color=#0000ff]ブラという。[br][/color]ブラはケットベクトルの共役転置をして作れる。[br]そして、ブラとケットはつないだ[b][color=#0000ff]＜φi | φj＞[/color][/b]で、内積[b]＜φi、φj＞＝∫φi*(x)φj(x) dx[/b]を表す。[br]ブラケットという。[br][br]さらに、演算子を使った内積もよく使う。[br][b][color=#0000ff]＜φi | F | φj＞[/color][/b]で、[b]＜φi、Fφj＞=∫φi*(x)Fφj(x) dx[/b]を表す。[b]＜i | F | j ＞[/b]とかくこともある。[br]（例）[br]物理量Oの期待値Oを演算子Pを使って表すのに、＜O＞＝＜ψ｜P｜ψ＞＝∫ψ*Pψdx[br]このように、読み書きすることをディラックさんが定めた。[br][br][b][size=150]＜完全直交正規基底(CONS)を作ろう＞[br][/size][br][color=#0000ff][size=150][size=100]量子力学の１つの演算子（行列）について固有値λiと固有ベクトル（固有関数）φiをあつめよう。[br][/size][/size][/color][/b]それを[b][color=#0000ff]正規化すると[/color][/b]、別の固有値の固有関数とは直交するから直交正規基底ができるね。[br]どんな状態ケット|ｆ＞も基底の線形結合で表すことができる。[br][b]|ｆ＞=c1|φ1＞＋[/b][b]c2|φ2＞＋…＋[/b][b]cn|φn＞＝Σci｜φi＞[/b]　（ ciをｆの展開係数という。）[br]展開係数のi番目[b]ci=＜φi, ｆ＞[/b]となる。[br]なぜなら、ブラ＜φi|とケット｜φi＞の内積は、＜φi, φj＞=δijだから、ブラの番号iと一致する係数だけ[br]残るからだね。[br]すると、状態ケット｜ｆ＞は言い換えができる。[br][b]｜ｆ[/b]＞＝Σ＜φi, ｆ＞|φi＞＝Σ |φi＞＜φi,ｆ＞＝（Σ|φi＞＜φi｜)｜ｆ＞　[br]すると、Σ|ei＞＜ei｜が[b]｜[/b]ψ＞を不変にしていることがわかるね。[br]だから、^I=[b][color=#0000ff][size=200][size=150]｜φi＞＜φi｜は恒等作用素といえるね。ケットブラと呼ぶ。[/size][/size][/color][/b][br][br]

[b][size=150]＜演算子とケット＞[/size][/b][br]ブラケット表記で演算子を使ってみよう。[br]＜i | j＞＝δij, Σ｜i＞＜i｜=1とすると、ｎ次の[b]完全な正規直交基底[/b]となり、{|i>}はCONSだね。[br][br]状態ψのi列ベクトル｜ψ＞をとりだすにはci=＜i｜ψ＞=c[br]状態ψのi行ベクトル＜ψ｜をとりだすにはci*=＜ψ｜i＞=#c(共役転置）[br]これらの内積は＜ψ｜ψ＞＝Σ＜ψ｜i＞＜i｜ψ＞＝#c・cで計算できる。[br]演算子Fによる状態ケットψへの作用は＜i, Fj＞｜ψ＞＝＜i｜F｜j＞＜j｜ψ＞とかく。[br][br]すると、[br]状態ψに対して演算子Hを作用させても不変になるとき、[br][color=#0000ff][b]H[/b]｜ψ＞＝[b]E[/b]｜ψ＞[br][/color]という式ができる。[br][br]これをΣでかこう。[br]Σ＜i | H | j＞＜j | ψ＞＝E＜i | ψ＞[br]これを行列とベクトルにすると、[br][b]行列×列ベクトルc＝E・列ベクトルｃ[br][/b]となるので、[b]行列Hの固有値問題[/b]となるね。[br][br][b][size=150]＜期待値＞[br][/size][/b]状態ψのエネルギー期待値Eは、[br]右側の | ψ＞で現在の状態を用意し、[br]演算子 H を作用させて各成分をエネルギー E_i 倍し[br]左側の＜φi | でそれらを集計（内積）する。[br][color=#0000ff][b]＜E＞=Σ ＜ψ｜φi＞ Ei ＜φi | ψ＞　＝　＜ψ｜H｜ψ＞　[/b][/color]

{Em}=１/√2π{....., exp(-i2θ), exp(-iθ), exp(0), exp(iθ), exp(i2θ),......}は正規直交関数だったね。[br]Emを使うと、[br]f(θ)＝Σ a[sub]m [/sub][b]| Em＞[/b]( m=[-∞、∞] )[br]のように[br]2π周期関数f(θ）が複素数三角関数の級数として表示できるということだね。[br][br][b][size=150]＜フーリエ級数＞[br][/size][/b]{Un(x)}=１/√π{１/√2, cosx ,sinx, cos2x, sin2x, ........} も正規直交する基底関数だ。（ｘが-π以上とπ未満）[br][br]f(x)=Σ a[sub]m [/sub][b]| Um＞ [/b]( m=[0、∞] )[br]のように2π周期関数f(x)がUnの級数として表示できる。[br][br]これがフーリエ級数だった。[br]フーリエ級数が[b][color=#0000ff]正規直交関数系（直交多項式）[/color]でできてることが、[br][color=#0000ff]フーリエ変換や微分方程式の解法[/color]に[/b]つながった。[br][color=#0000ff][b][size=150]（例）[br][/size][/b][/color] フーリエ級数y=1・sinx+1/3 ・sin3x+ 1/5・sin5x は、[br]　３つの正規直交基底Fm={sin x, sin3x, sin5x}の一次結合。[br]　[b]（正規直交関数である理由）[/b][br]　(sinx・sin3x)=(sin3x・sin5x)=(sin5x・sinx)=0[br]　(sinx・sinx)=(sin3x・sin3x)=(sin5x・sin5x)=π。[br]　∫XYdx[ -π, π] は奇関数X×奇関数Y＝奇関数の積分は原点対称で０になる。[br]　X=mxとして、∫(sin X)[sup]2[/sup] dx=1/2 ∫(1- cos 2X) dx =1/2 ∫1 dx-1/2 ∫cos 2Xdx=1/2[x][-π,π] -0=π。[br][br]他にも[color=#0000ff][b]微分方程式の解法[/b][/color]につながる[b]正規直交関数系（直交多項式）の仲間[/b]がある。[br]それをさぐっていこう。[br][br][b][size=150]＜ルジャンドル多項式＞[br][br][/size][/b]ルジャンドルの微分方程式(1-x[sup]2[/sup])y''-2xy' +n(n+1)y=0 (N∍n)[br]この基本解の１つはｎ次多項式y=p_n(x)=1/(2[sup]n[/sup]・n!) (d/dx)[sup]n[/sup] [(x[sup]2[/sup]-1)[sup]n[/sup] ][sup][br][/sup]この多項式の関数ベクトルを{Pn}={p_n(x)}としよう。[br]これは区間[-1,1]で重み関数w(x)=1に対する直交多項式系だ。[br]このとき、[br]任意のｎ次多項式は{Pn}の一次結合で表示できる。[br][br]g(x)がn-1次多項式で[b]＜Pn| g＞[/b]＝∫pn(x) g(x) w(x) dx=0から、[br]pn(x)とgは直交する。[br]g(x)がn次多項式で、g(x)がPn(x) (n=1からn-1)とw(x)と直交するなら、g(x)はP(n)の定数倍になる。[br]{Pn}のノルムはCn=2/(2n+1)なので、[br]∫1Pk(x)Pn(x) dx[-1,1]=Cn・δkn=if(k=n, Cn, 0)[br]{Un(x)}={1/Cn Pn(x)} (N∍n)で正規化された直交多項式系になるね。

[color=#9900ff][u][size=150]課題：フーリエ変換のイメージをgogebraで視覚化するにはどうしたらよいでしょうか。[br][/size][/u][/color][br]フーリエ変換は、ｆ(t)という時間領域の非周期関数から、F(k)という周波数領域の連続関数への変換[br]だった。変換のイメージをつかむだけなら、f(t)が周期関数で、F(k)が離散値でもよいね。[br][br]たとえばノコギリ波の時間関数は、[br]para=Sequence(n)という自然数列に連動して、[br]sw(x)=Sum(Zip(((1)/(m)) sin(m f*2 π x) (-1)^(m+1),m,para))[br]これをグラフィックビューで表示する。[br][br]周波数の分布リストは、[br]saw=Sequence($point(k,(((-1)^(k+1))/(k))),k,1,n)[br]別のグラフィックビューで表示する。[br]これを上下に並べてみると、連動がよくかるね。[br][br]他の三角波、矩形波でも同様にできる。[br]それをスライダーをつけて、整数値を変化させることで、表示の切り替えができるね。[br]周波数の深さｎを変えると、関数のSumの深さも点列の数も連動して変わえられるね。[br]深さを多くするということは、エネルギーの基底数をふやすということになるね。[br][br]詳しくは、アプレットの数式を見てください。[br][br]このアプレットで３つの波を切り替えてみましょう。[br][b]不連続性の代償（ギブス現象）[/b][br]矩形波や鋸歯状波のように「カクカクした」波を作ると高周波点列消えず「ツノ」が残る。[br]急激な変化（高エネルギー状態）の表現には、無限の基底が必要になるってことだ。[br][b]エネルギーの集中[/b][br]三角波では係数が 1/k^2で減衰するため、低周波の数点だけでほぼ元の形が再現されます。[br]これは「なめらかな物質の状態」は、低エネルギー基底だけで効率よく記述できるってことだね。[br]