WB22: Präsentation und Beispielaktivität
Präsentation
Ab hier die vorgestellte Aktivität ...
...zum Thema "Funktionen unter Iteration"
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Definition
Iteration meint die wiederholte Anwendung einer Funktion, also die Komposition von
(n mal)
einer Funktion auf einer Menge .
Beispiel
Gegeben sei die Funktion und .
Es ist demnach
Wie groß ist ? Wie verhält sich die Funktion unter unendlicher Iteration ()? Für welche hat die Funktion Fixpunkte? Welche Fixpunkte gibt es?Ein interessanteres Beispiel
Gegeben sei nun die Funktionenschar mit und .
Diese (quadratische) Schar beschreibt ein logistisches Wachstum. Eine mögliche Interpretation ist die eines Räuber-Beute Modells, welches aus einer Population eines Beutetieres und einer Population eine Räubers den neuen Populationswert bestimmt. dient der Skalierung. Die Iterationsschritte sind dabei ein Zeitintervall: kann beispielsweise als die Population nach 3 Wochen interpretiert werden.
Von Interesse ist dann nicht der Verlauf einer Scharkurve bei festem k, sondern die Entwicklung der für große . Gibt es einen Fixpunkt bei 0 oder 1 ist eine der Populationen ausgestorben. Gibt es einen Fixpunkt dazwischen ist ein Equilibrium (Gleichgewicht) eingetreten.
Man untersuche die Funktion auf ihr Verhalten bei fortgesetzter Iteration und gebe wenn möglich den Fixpunkt an.
- und
- und
Von Interesse ist jetzt die Zuordnung zwischen und der Entwicklung der Fixpunkte (für ).
Man skizziere den vermuteten Zusammenhang in das vorgegebene Koordinatensystem für .
Man skizziere den vermuteten Zusammenhang in das vorgegebene Koordinatensystem für .
Im nachfolgenden Applet kann der Zusammenhang von k zu den Fixpunkten erkundet werden. Mit einem Klick auf den "Play"-Button wird die Zuordnung gezeichnet. Um einen Abschnitt auf der x-Achse genauer zu betrachten, kann die Zoom-Funktion genutzt werden (dann muss die Funktion aber neu gezeichnet werden).Zusammenfassung
Ab einem bestimmten Wert von (etwas über 3) gibt es nicht mehr nur einen Fixpunkt, sondern alternerierend mehrere - präziser verdoppelt sich die Anzahl der Fixpunkte für ein gegebenes regelmäßig und in kürzer werdenden Intervallen.
Genaueres dazu und was das mit der Zahl 4,66920... zu tun hat erklärt, wird hervorragend von Ben Sparks im Video erklärt.
Genaueres dazu und was das mit der Zahl 4,66920... zu tun hat erklärt, wird hervorragend von Ben Sparks im Video erklärt.References
Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum-Konstante
Weisstein, Eric W. "Feigenbaum Constant."
From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html