...zum Thema "Funktionen unter Iteration"[br]--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Iteration meint die wiederholte Anwendung einer Funktion, also die Komposition von[br][math]f^n:=f\circ f\circ...\circ f[/math] (n mal)[br]einer Funktion [math]f:X\rightarrow X[/math] auf einer Menge [math]X[/math].

Gegeben sei die Funktion [math]f\left(x\right)=x^2,x\in\mathbb{R},x\ge0[/math] und [math]x_0=3[/math].[br]Es ist demnach[br][math]f^1\left(x_0\right)=f\left(3\right)=3^2=9[/math][br][math]f^2\left(x_0\right)=f\left(f\left(3\right)\right)=\left(3^2\right)^2=9^2=81[/math][br][math]f^3\left(x_0\right)=f\left(f\left(f\left(3\right)\right)\right)=\left(\left(3^2\right)^2\right)^2=81^2=6.561[/math]

Gegeben sei nun die Funktionenschar [math]f_k\left(x\right)=k\cdot x\cdot\left(1-x\right)[/math] mit [math]x\in\mathbb{R},0\le x\le0[/math] und [math]k\in\mathbb{R},k>0[/math].[br][br]Diese (quadratische) Schar beschreibt ein logistisches Wachstum. Eine mögliche Interpretation ist die eines Räuber-Beute Modells, welches aus einer Population [math]x[/math] eines Beutetieres und einer Population [math]1-x[/math] eine Räubers den neuen Populationswert [math]f_k\left(x\right)[/math] bestimmt. [math]k[/math] dient der Skalierung. Die Iterationsschritte sind dabei ein Zeitintervall: [math]f^3[/math] kann beispielsweise als die Population nach 3 Wochen interpretiert werden.[br][br]Von Interesse ist dann nicht der Verlauf einer Scharkurve bei festem k, sondern die Entwicklung der [math]x_i:=f^i\left(x_0\right)[/math] für große [math]i[/math]. Gibt es einen Fixpunkt bei 0 oder 1 ist eine der Populationen ausgestorben. Gibt es einen Fixpunkt dazwischen ist ein Equilibrium (Gleichgewicht) eingetreten.

Von Interesse ist jetzt die Zuordnung zwischen [math]k[/math] und der Entwicklung der Fixpunkte (für [math]x_0=0,5[/math]).[br][br][img]https://i.ibb.co/tpn2gQ7/Icon-Bulb-Blue32.png[/img] Man skizziere den vermuteten Zusammenhang in das vorgegebene Koordinatensystem für [math]0\le k<4[/math].

[img]https://i.ibb.co/hckJY1Q/Icon-GG-Blue32.png[/img] Im nachfolgenden Applet kann der Zusammenhang von k zu den Fixpunkten erkundet werden. Mit einem Klick auf den "Play"-Button wird die Zuordnung gezeichnet. Um einen Abschnitt auf der x-Achse genauer zu betrachten, kann die Zoom-Funktion genutzt werden (d[i]ann muss die Funktion aber neu gezeichnet werden)[/i].

Ab einem bestimmten Wert von [math]k[/math] (etwas über 3) gibt es nicht mehr nur einen Fixpunkt, sondern alternerierend mehrere - präziser verdoppelt sich die Anzahl der Fixpunkte für ein gegebenes [math]k[/math] regelmäßig und in kürzer werdenden Intervallen.[br][color=#B45F06][b][br][img]https://i.ibb.co/WgkFKVV/Icon-Blue-Eye32.png[/img][/b][/color] Genaueres dazu und was das mit der Zahl 4,66920... zu tun hat erklärt, wird hervorragend von [url=https://www.geogebra.org/u/sparksmaths]Ben Sparks[/url] im Video erklärt.

Wikipedia: [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum-Konstante]https://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum-Konstante[br][/url][br][url=https://mathworld.wolfram.com/about/author.html]Weisstein, Eric W.[/url] "Feigenbaum Constant."[br]From [url=https://mathworld.wolfram.com/][i]MathWorld[/i][/url]--A Wolfram Web Resource. [url=https://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html]https://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html[/url][br]