E sorok írója 2002-ben abba a kellemes helyzetbe került , hogy egy francia kisvárosban alkalma nyílt felavatni egy absztrakt szobrot Pierre Fermat szülőházának az udvarán, amelyben egy matematikai múzeum működik. [br][br]Fermat születésének 400-adik évfordulúját ünnepelve említettem meg, hogy Magyarországon ugyanekkor ünnepeltük Bolyai János születésének a 200-adik évfordulóját.[br][br]A Bolyai név hallatán egyik vendéglátóm, egy vasas szakmunkásokat képző középiskola matematikatanára elém tett négy kis fémlapból álló puzzle-készletet, amelyből ki lehetett rakni egy négyzetet, vagy egy szabályos háromszöget. Többen bizonygatták, hogy ez Bolyai János konstrukciója, bár - akkor úgy véltem - inkább édesapjáé, Bolyai Farkasé lehetett. [size=85] [size=100]Ugyanis többek között Bolyai Farkas nevéhez fűződik az a tétel, miszerint [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Wallace%E2%80%93Bolyai%E2%80%93Gerwien-t%C3%A9tel]az egymással egyenlő területű sokszögek végszerűen is egyenlők.[/url] [br][br][/size][/size]Később derült ki számomra, hogy ezt a problémát először [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Dudeney]Henry Dudeney[/url] oldotta meg 1903-ban.)[br]Minden esetre én arra voltam büszke, hogy a Bolyai név ismerősen cseng egy francia középiskolában, ők arra, hogy ezt a készletet az iskola egy olyan lézerrel működő gépével készítették, amely 0,01 mm pontossággal szabja darabokra az acéllemezt. Bármelyik iskola joggal lehet(ne) büszke arra, hogy ilyen feladatok megoldására (is) használják ezt a gépet.[br][br]Bolyai Farkas vezette be a "végszerűen egyenlő" síkidomok fogalmát. Két síkidomot [i]végszerűen egyenlő[/i]nek nevezett, ha az egyiket véges sok darabra szétvágva a kapott darabokból összeállítható a másik, vagyis ha a két síkidom véges számú, páronként egybevágó darabra osztható. (A síkidomok közötti [i]végszerűen egyenlő[/i] reláció sokkal szigorúbb, mint az, hogy két síkidom egyenlő területű. [br][br]Ehhez kapcsolódva mutatunk be egy általánosabb összefüggést, amelynek az említett puzzle egy speciális esete.

Daraboljunk fel egy hegyesszögű háromszöget [u]négy részre [/u]úgy, hogy a részekből összeállítható legyen egy téglalap.

A feladat megoldására konstruktív utat választunk.[br][br]Legyen:[br][list][*]adott a hegyesszögű ABC Δ és ennek az AC oldalán mozgó M pont;[br][br][/*][*]az AB, BC, AM és MC szakaszok felezőpontjai rendre G, F, D és E;[br][br][/*][*]P az G és Q az E pontnak a DF szakaszra eső merőleges vetülete;[br][br][/*][*]P'G' a PG szakasznak a D-re, Q'F' a QF szakasznak az E-re vonatkozó centrális tükörképe;[br][br][/*][*]N a (P'G') és (Q'F') egyenesek metszéspontja![/*][/list]

Az így előállított konstrukcióval kapcsolatban az alábbi kérdéseket tehetjük fel magunknak:[br][br][list][*]Hogyan igazolható, hogy a P'QQ'N négyszög az ABC háromszöggel egyenlő területű téglalap?[br](E kérdés megválaszolását olvasóinkra bízzuk.)[br][br][/*][*]Keressünk olyan általános eljárást, amellyel egy adott háromszöget adott oldalú téglalappá darabolható át. Ehhez milyen határok között választhatjuk meg a téglalap egyik oldalát?[br][br][/*][*]Legyen az ABCΔ szabályos! Hogyan kell megválasztanunk az [i]M[/i] pontot ahhoz, hogy a P'QQ'N négyszög négyzet legyen? Adjunk [u]pontos[/u] adatokat az átdaraboláshoz![/*][/list]

Határozzuk meg az m= AC/MC arányt úgy , hogy a kapott téglalap éppen négyzet legyen![br]A GeoGebra CAS alkalmazása jól felhasználható az ilyen jellegű numerikus adatok kiszámítására.[br][br]Az alábbi CAS programot [url=https://www.youtube.com/watch?v=0OTFGjQj-yk]Tarcsay Tamás[/url] készítette.

A CAS program eredményét könnyen ellenőrizhetjük az alábbi utasításokat rendre beírjuk az applet parancssorába:[br][br][list][*][b]C=Forgatás( B,60°,A) [/b]- ezzel elértük, hogy az ABC háromszög szabályos legyen;[br][br][/*][*][b]m=(sqrt(4sqrt(3) - 3) - 1) / 2 ≈0.4909847665675[/b]- ezzel megadtuk [b] [/b]az alábbi CAS programmal kiszámolt arányt;[br][size=85](Itt jegyezzük meg, hogy ezt az értéket a ma már [url=https://www.antikvarium.hu/konyv/hugo-steinhaus-matematikai-kaleidoszkop-138540]klasszikusnak számító könyv[/url] (írója ? fordítója?) nemes egyszerűséggel [b]m=0.5[/b]-re kerekítette, ami egy puzzle szempontjából elfogadható pontatlanság, de a matematika szempontjából nem.)[br][/size][br][/*][*][b]M=Nyújtás(A, m, C) [/b]-rögzítjük az eddig mozgatható M pontot;[br][br][/*][/list]

Egy kísérlet elvégzésére bíztatjuk az erre fogékony olvasóinkat.[br][br]Írjuk be a fenti applet parancssorába a pontosan megadott [b]m [/b]érték helyére - egyre durvább közelítéssel, tehát egyre kevesebb tizedesjegyet meghagyva - az [b]m = 0.4909847665675[/b] értéket. Figyeljük meg, hogy mikor tekinti a Geogebra túl durvának a közelítést ahhoz, hogy a háromszögből kapott alakzatot már nem négyzetnek, (csak téglalapnak) tekinti.[br][br]A kapott eredményt vessük össze azzal, hogy a GeoGebra akkor tekint két pontot azonosnak, ha a koordinátáik közötti eltérés kevesebb, mint 10[sup]-8[/sup] egység. Érdemes végiggondolni, hogy ha a GeoGebra rajzlapján akkorára nagyítanánk egy 10[sup]-8[/sup] hosszú szakaszt, hogy az 1 cm-nek látsszon, akkor mekkora lenne a fenti háromszög [i]AB [/i]oldala.[br][br]Itt jegyezzük meg, hogy ezt az értéket a ma már [url=https://www.antikvarium.hu/konyv/hugo-steinhaus-matematikai-kaleidoszkop-138540]klasszikusnak számító könyv[/url] (írója ? fordítója?) nemes egyszerűséggel [b]m=0.5[/b]-re kerekítette, ami egy puzzle szempontjából elfogadható pontatlanság, de a matematika szempontjából nem.)

Az itt tárgyalt több mint száz éve ismert összefüggés felvet néhány ma is aktuális kérdést:[br][br][list][*]Két egyenlő területű sokszög átdaraboláshoz legkevesebb hány részre kell vágnunk a sokszögeket? [br][br][/*][*]Például egy szabályos ötszöget hány részre elég feldarabolnunk ahhoz, hogy a részekből (egy puzzle igényeit kielégítő módon "szabályos", ill. (matematikailag is pontosan) szabályos háromszöget állíthassunk össze. [/*][/list]