Mandelbrotov skup
Kao prirodni nastavak trećeg domačeg zadatka iz predmeta MNMR školske 2023./24, u ovom radu ćemo se, kroz alate Geogebre, upoznati s Mandelbrotovim i Džulijinim skupom i staviti ih u kontekst teorije compleksnih dinamičkih sistema.
Table des matières
- Šta je Mandelbrotov skup?
- Mandelbrotov skup pod lupom
- Neformalna definicija
- Kako sami da nacrtamo Mandelbrotov skup?
- Interaktivni Mandelbrot
- Kako se crta
- Interaktivni Mandelbrot
- Par pitanja
- Novi takmičar ulazi u igru: popunjen Džulijin skup
- Motivacija
- Vizualizacija (popunjenog) Džulijinog skupa
- Formalna definicija popunjenog Džulijinog skupa
- Još jedno pitanje
- Neke osobine Mandelbrotovog i popunjenog Džulijinog skupa
- Neke osobine Mandelbrotovog i popunjenog Džulijinog skupa
- Odnos između popunjenog Džulijinog skupa i Mandelbrotovog skupa
- Bibliografija
- Linkovi
- Videi
Mandelbrotov skup pod lupom
Dok slika vredi hiljadu reči, video snimak vredi 24000 reči po sekundi! Zato hajde da bacimo pogled na priloženi snimak.
Mandelbrot zoom sequence
Interaktivni Mandelbrot
Definicija 1
[code][/code]Neka je prvo [math]c \in \mathbb{C}[/math] neki proizvoljan kompleksni broj i neka je [math]f_c: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} [/math] funkcija definisana sa [math]f_c(z):=z^2+c[/math]. Mandelbrotov skup [math]M\subseteq\mathbb{C}[/math] se sastoji od svih tačaka [math]c\in\mathbb{C}[/math] takvih da je niz s opštim članom [math]z_{n} :=f_c^n(0) [/math] ograničen po modulu (odnosno, ne divergira ka beskonačnosti).
Kako se crta
Svakom kompleksnom broju [math]c\in\mathbb{C}[/math] možemo da dodelimo neku boju u zavisnosti od toga koliko iteracija je potrebno da modul članova niza [math]\left(f^n_c\left(0\right)\right)_{n\in\mathbb{N}_0}[/math] budu veći od nekog proizvoljnog pozitivnog broja [math]R[/math] . Povećanjem broja sračunatih iteracija za proizvoljno [math]c\in\mathbb{C}[/math] dobijamo preciznijz sliku kako Mandelbrotov skup zapravo izgleda.
Pitanje 1
Šta se dešava kada se pomera parametar [math]c[/math] po unutrašnjosti Mandelbrotovog skupa? Jel primećujete neke pravilnosti u broju/rasporedu tačaka niza [math]\left(f^n_c\left(0\right)\right)_{n\in\mathbb{N}_0}[/math]?
Motivacija
Primetili smo u prethodnom poglavlju da možemo, skoro pa ,,dualno'', da posmatramo šta se dešava ako fiksiramo [math]c\in\mathbb{C}[/math] a variramo početni član [math]z_0[/math] niza [math]\left\{f_c^n\left(z_0\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}_0}[/math]. Kao i u slučaju Mandelbrotovog skupa, nas zanimaju svi početni uslovi [math]z_0[/math] za koji je pređašnji niz ograničen, [i]za neko fiksirano [math]c[/math][/i]. Prirodno se nameće pitanje da li ova familija skupova sadrži neku dodatnu informaciju, i ako da, kakvu, o Mandelbrotovom skupu. Ispostaviće se da ovi skupovi u izuzetno prisnom odnosu s Mandelbrotovim skupom.
Saznaćemo ubrzo šta je ovo...
Neke osobine Mandelbrotovog i popunjenog Džulijinog skupa
Mandelbrot je kompaktan
Dokažimo da je Mandelbrotov skup [math]M[/math] ujedno ograničen (preciznije, da je podskup zatvorene kugle [math]B\left[0;2\right][/math] s centrom u [math]0[/math] poluprečnikom [math]2[/math]) i zatvoren, odnosno da je on jedan kompaktan skup.[br][br][b][i]Zatvorenosti: [/i][/b]Neka je [math]\left\{c_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] niz elemenata iz [math]M[/math] takav da [math]c_n\longrightarrow c\in\mathbb{C}[/math], to znači da je za svako [math]n\in\mathbb{N}[/math], niz [math]\left\{f_{c_n}^k\left(0\right)\right\}_{k\in\mathbb{N}}[/math] ograničen, ali, kako je za svako [math]k\in\mathbb{N}[/math] izraz [math]f^k_{c_n}\left(0\right)[/math] zapravo polinomijalan po [math]c_n[/math] (pa samim tim i neprekidna funkcija po istom), mi vidimo da je zapravo i niz [math]\left\{f_c^k\left(0\right)\right\}_{k\in\mathbb{N}}[/math]ograničen. Odavde sledi da je [math]c\in M[/math], odnosno da je [math]M[/math] zatvoren.[br][br][b][i]Ograničenost: [/i][/b]Ogračenost ćemo ostaviti čitaocu za domaći, uz naredno uputstvo:[br]Pretpostavite suprotno, tj. da postoji [math]c\in M[/math] takvo da je [math]\left|c\right|=2+\delta[/math], gde je [math]\delta>0[/math]. Dokazati indukcijom da za niz s opštim članom [math]z_n=f_c^n\left(0\right)[/math] važi nejednakost [math]\left|z_n\right|\ge2+\left(n-1\right)\delta[/math] za [math]n\ge2[/math].[br][b][i][br]Povezanost:[/i][/b]Douady and Hubbard su pokazati da je [math]M[/math] i povezan skup, ali ćemo dokaz ove činjenice izostaviti sbog svoje tehničke prirode (link ka pdf-u s ovim dokazom možete naći [url=https://legacy-www.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/handouts/mandelbrot.pdf]ovde[/url]).
Odnos između popunjenog Džulijinog i Mandelbrotovog skupa
Jedna od glavnih spojnica između Mandelbrotovog skupa i popunjenog Džulijinog skupa je karakterizacija da je [math]c\in M[/math] ako i samo ako je [math]J\left(f_c\right)[/math], gde je [math]f_c\left(z\right)=z^2+c[/math], [b][i]povezan skup! [/i][/b][br][br]Neformalno govoreći, mi možemo na neki način da posmatramo kao svojevrsnu ,,mapu'' povezanih Džulijinih skupova.[br]
Linkovi
Pored navedenih videa, od velike koristi su mi bili i naredni linkovi:[br][list][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set]https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set]https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set]https://en.wikipedia.org/wiki/Filled_Julia_set[/url][br][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_dynamics]https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_dynamics[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Escaping_set]https://en.wikipedia.org/wiki/Escaping_set[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_points_of_complex_quadratic_mappings]https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_points_of_complex_quadratic_mappings[/url][/*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map][*]https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map[/*][/url][*][url=https://legacy-www.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/handouts/mandelbrot.pdf]Dokaz da je Mandelbrotov skup povezan[/url] [/*][*][url=https://math.stackexchange.com/questions/4254954/mandelbrot-if-c2-the-set-is-not-bounded]Dokaz da je Mandelbrotov skup ograničen[br][/url][br][/*][/list]
