Legyen adott a P-modellen a [i]c[/i] kör ( [i]K[/i] középpontjával és az [i]A[/i] kerületi pontjával), valamint egy rajta kívül levő[i] P[/i] pont! Szerkesszük meg a [i]P[/i]-re illeszkedő [i]c[/i]-t érintő egyeneseket!
[url=https://beta.geogebra.org/m/Hf3wzUKD#material/g6qa5bsD]Mint láttuk[/url], a hiperbolikus geometriában nem érvényes Thalész tétele. Emiatt olyan megoldáson kell gondolkoznunk, amely egyaránt alkalmazható mind az euklideszi síkon, mind a P-modellen.[br]Ezért először nézzük meg, melyek azok az abszolút geometriai összefüggések, amelyeket ki tudunk használni.[br][list][*][b][color=#9900ff]A kör egy adott pontjába húzott érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra.[br][/color][/b][br][/*][*][b][color=#9900ff]Az adott körrel koncentrikus, a körön kívüli adott pontra illeszkedő körvonal bármely pontjához tartozó érintő érintő-távolsága ugyanakkora, mint az adott ponthoz tartozó érintőtávolság.[/color][/b][/*][*][b][color=#9900ff]A körhöz külső pontból húzott két érintő érintőtávolsága ugyankkora.[/color][/b][/*][/list][color=#333333]Mindez abból következik, hogy a kör tengelyesen szimmetrikus a középpontjára illeszkedő bármely egyenesre.[/color][color=#9900ff][br][/color]
A fenti összefüggésekre épül a Thalész tételt mellőző szerkesztési eljárás alapötlete.[br] [br]Vegyük fel az adott kör egy tetszőleges érintőjét, ezen keressük meg azt az M pontot, amelyhez ugyanakkora érintőtávolság tartozik, mint P-hez. Ebből valamilyen egybevágósági transzformációval (pl. a PM szakaszfelező merőlegesére vonatkozó tükrözéssel) állítsuk elő az egyik, majd ebből a másik keresett érintőt.[br][br]Ezen a - tovább egyszerűsített -ötleten alapul az az Arkhimédész nevéhez fűződő szerkesztés, amely azonban [i]Dávid Lajos Bolyai Geometria [/i]c. könyve (121.old.) szerint maga Euklídész is leírt: ([i]Elemek III. 17.[/i])[br][br]Mint látni fogjuk, ez a szerkesztés nem csak az abszolút geometriában - vagyis a P-modellen - , hanem a gömbi geometriában is alkalmazható, természetesen az ott kialakított eszköztár felhasználásával.
[url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/upseTGND]Amint láttuk[/url], a hiperbolikus geometriában a körön (és az egyenesen) kívül létezik még két szabályos görbe - azaz ciklus. Azt is tapasztalhattuk, hogy a P-modell [b]HKör[K,A][/b] eljárása paraciklus rajzolására is alkalmas, ha a kör K középpontja a p modell végtelen távoli pontjává fajul. Így a P-modellre alkalmazott szerkesztési eljárás némi átalakítással alkalmazható paraciklushoz húzott érintők megszerkesztésére is.
Adjunk meg a hiperciklust az [i]A[/i] és [i]B[/i] végtelen távoli, valamint a [i]C [/i]belső pontjával, továbbá - alkalmas helyen - egy további P pontot. A már alaposan megismert (arkhimédészi- euklídeszi) érintőszerkesztést mindössze annyiban kell módosítanunk, hogy a c kör K középpontjára, ill. a paraciklus V végtelen távoli pontjára illeszkedő egyenesek helyett rendre a hiperciklus AB tartóegyenesére merőleges egyeneseket kell megszerkesztenünk.
Megjegyezzük még, hogy a fenti szerkesztés tovább egyszerűsíthető. Felesleges felvennünk a [b]k=Hegyenes(A,B) [/b]egyenest, mert pl. az [b]f=Hmerőleges(P,k) [/b]parancsban [i]k [/i]helyett elegendő bemenő adatként a [i]c [/i]hiperciklus nevét beírnunk, amelyet a [b]c=Körív2(A,C,B)[/b] paranccsal kell megadnunk. Ugyanis:[br][br][list][*][color=#ff0000][b]bármely egyenesre merőleges egyenes [/b]egyben[b] merőleges az adott egyeneshez tartozó bármely hiperciklusra is.[/b][/color][/*][/list]