Bunryu Kamimura, 15/07/2019

統計分析をするとき行列が使ってある。どうして行列が使えるのか、どうやって使うのか、使うと良い点は何か・・・いろいろ疑問が浮かぶ。 とすると、行列を学びながら統計分析のし方を学習できるはずだ。 例によって、今自分が知っていることをベースにシートを作りながら、一つ一つの現象を身体で経験していくという学び方をしていく。 「わかることは作ること」「作ることでわかる」 目標は「主成分分析」や「デープラーニング」の原理を学ぶこと。 ポイントは２つ (1)最小二乗法を使って回帰直線を作る。（原理も探りながら） (2)分散が最大最小になる＝固有ベクトルは方向を示し、固有値は最大最小の分散を示す⇒主成分分析をする。

ガウスやルジャンドルが考案した。統計分析における最も基本的な手法。ウィキペデイアには、 「測定で得られた数値の組を、適当なモデルから想定される1次関数、対数曲線など特定の関数を用いて近似するときに、想定する関数が測定値に対してよい近似となるように、残差の二乗和を最小とするような係数を決定する方法、あるいはそのような方法によって近似を行うこと。」 と書いてある。 まず、分散とは何かを調べる。 そして、二乗和が最小になる意味を考察し、その散布図の代表の直線とはどういう線か、傾きと切片はいくつかを調べる。

• 1. 回帰直線（最小二乗法）
• 2. 最小二乗法の計算
• 3. 分散の意味
• 4. 分散の計算式で（n-1）で割るのは？

分散の意味は分かった。でも、これは一つの変数の散らばり具合。では、二つの変数の間のちらばり具合や関係を表わすにはどうしたら良いのだろうか？ そのために散布図を作る。それを見ると二つの変数の関係がわかってくる。その関係をどう数値化するか。 まず、相関係数は2つのことがらの間にある（線形な）関係の強弱を測る指標。 二つのことがらの散らばり具合を表すには共分散を使う。 そして、分散や共分散を用いて二つのことがらの間の関係を探る。 相関係数と回帰直線の傾きは違う。 分散の計算は表＝行列を用いて、関数化されている。

• 1. 分散と共分散と相関係数
• 2. 国語と数学のテストの共分散
• 3. 散布図の分析

一般的にデータは表で与えられる。 表は行列として扱うと、行列の計算を利用でき、扱いやすい。 表の変数が２つだったら列が２の行列。 ジオジェブラには行列の平均や分散を求めるコマンドがある。 さらに、その行列はベクトルを変換する。 まずは行列のイメージを探りながら、行列の固有ベクトルの意味をつかむ。 そして固有値や固有ベクトルが散布図の何を意味しているのかをシートを作りながら探っていく。

• 1. 固有ベクトルを求める
• 2. 行列のイメージと固有ベクトル
• 3. ３次の行列の固有ベクトル
• 4. 行列の固有値の求め方

分散共分散行列は対称行列です。 対称行列の固有ベクトルは互いに直交します。 これを使って行列を展開することもできます。

• 1. 対称行列の固有ベクトル（ＣＡＳを使う方法）
• 2. 三次の対称行列の固有ベクトル
• 3. 行列のスペクトル分解

分散共分散行列の固有値は、散布図において分散が最大と最小になる方向についての分散の値を示しています。 そして、方向は固有ベクトルが指し示してくれます。 さて、主成分分析とは？「主成分分析（ PCA）は、相関のある多数の変数から相関のない少数で全体のばらつきを最もよく表す主成分と呼ばれる変数を合成する多変量解析の一手法。」 このように説明されてもさっぱりわかりません。 そこで一番簡単な２変数についての散布図を元に、実際に主成分の散布図を作ってみます。作ることがわかる早道。 【ポイント】 分散が最大になる時は固有ベクトルの固有値が大きい方。 道筋 元データの散布図⇒分散共分散行列を作る⇒固有ベクトルを計算する⇒固有ベクトルの大きさを１にする⇒二つのベクトルを合わせて行列にして各点を変換したときのｘ座標が第一主成分、ｙ座標が第二主成分

• 1. 分散が最小と最大になる所
• 2. 主成分分析
• 3. 主成分分析の例
• 4. 固有ベクトルで座標変換
• 5. 主成分の座標変換