El triángulo formado uniendo los puntos medios de los lados de un triángulo se llama el triángulo medial. [br][br]En esta sección, estaremos observando la siguiente figura:

Hay mucha información en la figura mostrada. Vamos a disecar la misma.[br][br]En la figura, [math]\text{△}A'B'C'[/math] es el triángulo medial de [math]\text{△}ABC[/math], Insertamos dos medianas [math]AA'[/math] y [math]BB'[/math] encontrandose en el punto G. Insertamos dos alturas del [math]\text{△}ABC[/math] encontrándose en el punto H. Finalmente, insertamos dos alturas del [math]\text{△}A'B'C'[/math], encontrándose en el punto O.[br][br]Primero, [math]\text{△}A'B'C'[/math] tiene sus lados paralelos a aquellos del [math]\text{△}ABC[/math], así que los triángulos son similares. Luego, [math]C'B'=\frac{1}{2}BC[/math], formando una proporción entre cualquiera dos segmentos de línea correspondientes (no solamente lados correspondientes) de 1:2. Adicionalmente, los segmentos de línea [math]B'C',C'A',A'B'[/math] disecan [math]\text{△}ABC[/math] en cuatro triángulos congruentes. [br][br]Además, notemos que [math]AC'A'B'[/math] es un paralelogramo, así que la diagonal [math]AA'[/math] biseca a la diagonal [math]B'C'[/math]. Por lo tanto, las medianas del [math]\text{△}A'B'C'[/math] caen dentro de las medianas del [math]\text{△}ABC[/math]. Esto significa que ambos triángulos tienen el mismo [b]centroide[/b], G. Además, el punto medio de [math]B'C'[/math], denominado [math]P[/math], es el punto medio de [math]AA'[/math].[br][br]Ahora, como las alturas del [math]\text{△}A'B'C'[/math] mostradas en la figura son los bisectores perpendiculares de los lados [math]AB[/math] y [math]BC[/math] del [math]\text{△}ABC[/math]. Concluimos que el [b]ortocentro[/b] O del [math]\text{△}A'B'C'[/math] es el [b]circuncentro[/b] del [math]\text{△}ABC[/math]. [br][br]Como [math]H[/math] es el ortocentro del [math]\text{△}ABC[/math] y [math]O[/math] el ortocentro del triángulo similar [math]△A'B'C'[/math], [math]AH=2OA'[/math]. [br][br]Por el Teorema de trisección de la [url=https://www.geogebra.org/m/a9gc5mwn#material/fxrfrhqw]sección 1.3[/url] notamos que [math]AG=2GA'[/math]. Finalmente, como [math]AD[/math] y [math]OA'[/math] son ambos perpendiculares al lado [math]BC[/math], son paralelas. Por lo tanto,[br][br][br][math]\angle HAG=\angle OA'G[/math], [math]\text{△}HAG\sim\text{△}OA'G[/math] y [math]\angle AGH=\angle A'GO[/math]. [br][br]Esto nos muestra que los puntos [math]O,[/math] [math]G,[/math] [math]H[/math] son colineares y [math]HG=2GO[/math].[br][br]Esto nos prueba el siguiente Teorema

El ortocentro, centroide y circuncentro de cualquier triángulo son colineares. El centroide divide la distancia del ortocentro al circuncentro en una proporción 2:1. La línea formada por estos tres puntos se llama la línea de Euler.

Leonhard Euler, nacido en Basel, Suiza en 1707, fue un gran matemático. Enriqueció a muchas áreas de las matemáticas. Escribió 473 "memoirs" publicadas en su plazo de vida. Luego de su fallecimiento, se publicaron 200 más y aún faltaron 61 que tuvieron que esperar.