Súlypontos probléma (31.)
Egy négyszög csúcsai által meghatározott négy háromszög súlypontjai milyen négyszöget határoznak meg?
Az Euklideszi geometriában ...
bebizonyítható, hogy a súlypontok által meghatározott négyszög hasonló az eredeti négyszöghöz, a hasonlóság aránya
.
A kapott eredményünkből következik az is, hogy ha a kiinduló négyszög húrnégyszög, akkor a súlypontok által meghatározott négyszög is húrnégyszög. Az alkalmazott bizonyítás vektoros volt. Ehhez a fogalomhoz szükséges a párhuzamosság, így euklideszi fogalom.
Lássuk, hogy mi van a nemeuklideszi geometriákban!
Úgy látszik, hogy a súlypontok húrnégyszöget alkotnak, de a szemközti szögek összege nem egyenlő.
Hasonló megállapítás tehető a gömbi geometriában is:
