Ein Krümmungskreis an den Graph einer Funktion f ist jener Kreis, der im Punkt P(x[sub]0[/sub]|y[sub]0[/sub]) dieselbe Krümmung wie die Funktion hat.[br][br]Folgende Bedingungen muss der Krümmungskreis erfüllen:[br][list=1][*]Der Krümmungskreis mit dem Mittelpunkt M(m|n) gehr durch den Punkt P(x[sub]0[/sub]|y[sub]0[/sub])[br](d. h. die Funktion und der Krümmungskreis gehen durch den Punkt P(x[sub]0[/sub]|y[sub]0[/sub]) ).[/*][*]Der Mittelpunkt M(m | n) liegt auf der Normalen n[sub]P[/sub] zur Tangente t[sub]P[/sub] im Punkt P(x[sub]0[/sub]|y[sub]0[/sub])[br](d. h. die Funktion und der Krümmungskreis haben an der Stelle x[sub]0[/sub] dieselbe Steigung bzw. dieselbe erste Ableitung).[br][/*][*]Der Krümmungskreis und die Funktion f haben an im Punkt P(x[sub]0[/sub]|y[sub]0[/sub]) dieselbe zweite Ableitung.[br][/*][/list][br]Das führt auf die Bedingungen[br][list=1][*][math](x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2[/math][/*][*][math](y - y_0) = -\frac{1}{f'(x_0)} (x - x_0)[/math][/*][*][math]\frac{(-(y-n)^2-(x-m)^2)}{(y-n)^3}=f''(x_0)[/math] [i](Hinweis siehe unten)[/i],[/*][/list][br]die im Punkt P(x[sub]0[/sub] | y[sub]0[/sub]) erfüllt sein müssen.[br][list=1][*][math](x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2 = r^2[/math][/*][*][math](n - y_0) = -\frac{1}{f'(x_0)} (m - x_0)[/math][/*][*][math] \frac{(-(y_0 - n)^2+ (x_0 - m)^2)}{(y_0 - n)^3} = f''(x_0) [/math].[/*][/list][br]Dieses Gleichungssystem kann mit dem CAS gelöst werden. [br]In Zeile 4 (nach rechts scrollen) sieht man als Lösung für den Radius des Krümmungskreises [br][center][math]r=\frac{\left(1+\left(f'\left(x_0\right)\right)^2\right) ^\frac{3}{2}}{f''\left(x_0\right)}[/math].[/center][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe den [color=#0000ff][b]Mittelpunkt M[/b][/color] des blauen Kreises auf der Normalen n[sub]P[/sub], bis der Krümmungskreis angezeigt wird.[br]Beachte, dass der Krümmungskreis auch noch weitere Schnittpunkte mit dem Graphen haben kann.

Die Kreisgleichung lautet [math]\left(x-m\right)^2+\left(y-n\right)^2=r^2[/math].[br][br]Implizites Differenzieren ergibt[br][center] [math]2\left(x-m\right)+2\left(y-n\right)\cdot y'=0[/math] und somit [math]y'=-\frac{x-m}{y-n}[/math].[/center]Ein nochmaliges implizites Differenzieren führt auf [br][center] [math]2+2\left(y'\cdot y'+\left(y-n\right)\cdot y''\right)=0[/math] [/center]und nach einigen Umformungen auf [br][center][math]y''=\frac{-1-y'^2}{y-n}=\frac{-1-\left(-\frac{x-m}{y-n}\right)^2}{y-n}=\frac{-\left(y-n\right)^2-\left(x-m\right)^2}{\left(y-n\right)^3}[/math][/center]