L'ensemble [math]\mathbb Z/n\mathbb Z [/math] des entiers modulo n peut-être vu aussi sous la forme [math]\mathbb U_n [/math] des racines n-ème de l'unité du cercle trigonométrique [math]\mathbb S^1 [/math]. Sous forme exponentielle, on les note [math]\mathbb U_n =\{e^{2ik\pi}n/k\in\mathbb Z/n\mathbb Z\}[/math] car [math]\theta\longmapsto e^{i\theta}[/math] est [math]2i\pi[/math]-périodique: pour tout entier k, [math]e^{i\theta+2ik\pi}=e^{i\theta}[/math].[br][br]On a vu qu'un entier était générateur des autres quand il était premier avec n. Cet ensemble est dénombré par [math]\varphi(n)[/math], [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler]l'indicatrice d'Euler[/url] et on note les racines primitives associées [math]\mathbb A_n[/math]. Ce sont tous les éléments non nuls quand n est premier, mais quand n n'est pas premier, qu'il possède donc des diviseurs [math]d|n[/math], alors les racines n-èmes de l'unité se décomposent en les racines d-èmes primitives pour tous les diviseurs: [math]\mathbb U_n=\sqcup_{d|n}\mathbb A_d[/math].

Remarquez que chaque élément [math]a\in\mathbb Z/n\mathbb Z[/math] possède un ordre additif [math]d[/math] propre, c'est-à-dire le plus petit entier [math]d[/math] tel que [math]d\times a\equiv 0[n][/math]. Cet ordre [math]d|n[/math] divise l'ordre n du groupe additif [math](\mathbb Z/n\mathbb Z,+)[/math] et comme [math]d\times a\equiv 0[n][/math], [math]\exists k\in\mathbb Z, d\times \dot a+k\times n=0[/math], où [math]\dot a\in\mathbb Z[/math] est un entier représentant de la classe [math]a\in\mathbb Z/n\mathbb Z[/math]. Cet élément [math]a[/math] génère donc un sous-groupe [math]<a>=a \mathbb Z/n\mathbb Z=\{m a/m\in\mathbb Z/n\mathbb Z\}\approx\mathbb Z/d\mathbb Z\approx \mathbb U_d=\sqcup\limits_{e|d}\mathbb A_{e}[/math].[br][br]Pour n premier, les éléments non nuls forment un groupe multiplicatif [math](\mathbb Z/n\mathbb Z^*,\times)[/math] qui compte [math]\varphi(n)=n-1[/math] éléments. Aussi, chaque élément non nul a un ordre multiplicatif [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lagrange_sur_les_groupes]qui divise n-1, l'ordre du groupe[/url], c'est [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat]le petit théorème de Fermat:[/url] [math]\forall a\in\mathbb Z/n\mathbb Z^*, a^{n-1}\equiv 1[n][/math] qu'on peut reformuler sur les entiers, même multiples de n: [math]\forall a\in\mathbb Z, a^n\equiv a[n][/math].[br][br]Quand n est composé, c'est plus complexe, comme on l'a vu, chaque élément, en tant que racine n-ème de l'unité, a un ordre d donné, et est une racine primitive d-ème [math]\alpha\in A_d[/math], qui lui-même peut-être composé.