Tavoitteena on määrittää tasoalueen pinta-ala mahdollisimman tarkasti.[br][br]Luonnollinen ajatus on peittää tasoalue mahdollisimman yksinkertaisilla geometrisilla objekteilla. Tällainen on esimerkiksi suorakulmio, jonka pinta-ala [math]A=ah[/math]. Peittäminen voidaan tehdä joko niin, että mahdollisimman vähän jää peittämättä, tai niin, että peittäminen menee mahdollisimman vähän alueen reunojen yli.

Ajatuksen yleistämiseksi tutkitaan ensin käyrän [math]y=f(x)[/math] ja [math]x[/math]-akselin väliin jäävän tasoalueen pinta-alaa. Olkoon kuvion vasemman reunan x-koordinaatti [math]a[/math] ja oikean reunan [math]b[/math]. Silloin kuvion leveys on [math]w=b-a[/math]. Muodostetaan suorakulmiot niin, että ne ovat yhtä leveitä. Jos suorakulmioiden lukumäärä on [math]n[/math], niin jokaisen suorakulmion leveys on [math]\Delta x=\frac{w}{n}=\frac{b-a}{n}[/math] ja pinta-ala [math]A=h\cdot\Delta x[/math].[br][br]Jos haluamme suorakulmioiden täyttävän alueen niin, että mahdollisimman vähän jää peittämättä, suorakulmion korkeus tulee olla aina pienempi kuin funktion arvo kullakin osavälillä. Silloin on valittava korkeudeksi funktion arvo, joka on pienin kyseisellä osavälillä [math]i[/math] olevista arvoista. Siis välillä [math]i[/math] pinta-ala [math]A=f_i\Delta x_i[/math].[br][br]Kokonaispinta-ala (ns. [b]alasumma[/b]) on [math]s_n=\sum f_i\Delta x_i[/math][br][br]Saatu alue on aina pienempi kuin kysytty tasoalue, mutta jakovälien lisääminen kaventaa suorakulmioita ja ne täyttävät alueen yhä tarkemmin.[br][br][b]Yläsumma [/b][math]S_n[/math] saadaan vastaavasti niin, että valitaan välin [math]i[/math] funktion arvoista suurin. Suorakulmio peittää alueen ja hieman ylimääräistä. Saatu alue on aina suurempi kuin kysytty tasoalue, mutta jakovälien lisääminen tarkkuutta.[br][br]Tutki ala- ja yläsumman muodostumista oheisen sovelman avulla.

Olkoon funktio [math]f[/math] määritelty suljetulla välillä [math][a,b][/math]. Jos välisumman raja-arvo[br][math]\lim_{n\to\infty}S_f=\lim_{n\to\infty}\sum f\left(x_i\right)\Delta x[/math][br]on olemassa, niin funktio [math]f[/math] on [b]integroituva välillä [/b][math][a,b][/math].[br][br]Tämä raja-arvo on funktion [math]f[/math] [b]määrätty integraali[/b] [math]a[/math]:sta [math]b[/math]:hen[br][math]\int_a^b f(x) dx =\lim_{n\to\infty}\sum f\left(x_i\right)\Delta x[/math]