La situation où l'on connaît un angle, son côté opposé et un autre côté est un peu plus difficile à gérer, car, contrairement aux quatre cas précédents, il peut y avoir deux solutions.[br][br]Ce n'est pas particulier à la sphère, puisque la même chose survient pour des triangles plans (rappelez-vous certains exercices de l'étape 1).[br][br]Dans l'appliquette ci-dessous, on peut faire varier la valeur de l'angle [math]\textcolor{olivegreen}A[/math] et la longueur des deux côtés [math]\textcolor{olivegreen}a[/math] et [math]\textcolor{blue}b[/math] d'un triangle plan. On peut faire pivoter le point [math]\textcolor{olivegreen}A[/math] autour du point [math]\textcolor{red}C[/math] et l'on a tracé une droite formant un angle [math]\textcolor{olivegreen}A[/math] avec le côté [math]\textcolor{blue}b[/math]. Cette droite est comme un viseur : il y aura au moins une solution si elle frappe le point [math]\textcolor{blue}B[/math] (c'est-à-dire si [math]\textcolor{BurntOrange}{B'}[/math] arrive sur [math]\textcolor{blue}B[/math]). Amusez-vous à développer votre intuition en faisant varier les différents paramètres.[br][br]On remarque qu'il y a parfois deux solutions possibles, et que cela survient [[i]assurez-vous de comprendre pourquoi[/i]] lorsque [br][br][center][math]\boxed{\textcolor{olivegreen}{a} < \textcolor{blue}{b}}[/math][/center]

Regardons maintenant si le même phénomène se produit sur la sphère. L'appliquette ci-dessous est une copie de celle en haut de la page, mais sur la sphère.[br][br]On remarque ici aussi qu'il y a parfois deux solutions possibles, et que cela semble survenir lorsque [br][br][center][math]\boxed{\textcolor{olivegreen}{a} < \textcolor{blue}{b}}[/math][/center]

Cliquez maintenant sur le bouton [math]\fcolorbox{black}{LimeGreen}{\textsf{1 solution}}[/math] qui réglera les paramètres [math]\textcolor{olivegreen}A[/math], [math]\textcolor{olivegreen}a[/math] et [math]\textcolor{blue}b[/math] dans un cas où, même si [math]\textcolor{olivegreen}a < \textcolor{blue}b[/math], il n'y a qu'une solution.[br][br]Remarquez qu'une telle situation [i]ne possède même pas de solution dans le plan[/i], puisqu'on ne pourrait viser et atteindre le point [math]\textcolor{blue}B[/math] [[i]essayez-le dans la première appliquette pour comprendre ce qui se passe[/i]].[br][br]En fait, il y [i]aurait[/i] deux solutions dans ce cas aussi si l'on permettait que la longueur des côtés du triangle sphérique soit supérieure à [math]180\degree[/math] (ce que notre définition ne permet pas).[br][br]Les triangles plans et sphériques partagent la propriété (il me semble évidente, quoique...) que le [u]côté le plus grand est opposé à l'angle le plus grand[/u], et vice-versa. Le plus simple pour savoir, lorsque [math]\textcolor{olivegreen}a < \textcolor{blue}b[/math], s'il y a une ou deux solutions, revient à calculer (voir plus loin) les deux angles possibles [math]B_1[/math] et [math]B_2[/math]. Puis, puisque [math]\textcolor{olivegreen}a < \textcolor{blue}b[/math], il faut aussi que [math]\textcolor{olivegreen}{A} < \textcolor{blue}{B}[/math]. On conserve des angles [math]B_1[/math] et [math]B_2[/math] celui (ou les deux) qui respecte cette condition.

Puisque l'on a une paire côté-angle [math]\textcolor{olivegreen}{aA}[/math] et un côté [math]\textcolor{blue}b[/math], la loi des sinus sphérique est toute appropriée :[br][br][center][math]\begin{align}\frac{\sin(\textcolor{olivegreen}{A})}{\sin(\textcolor{olivegreen}{a})}&=\frac{\sin(\textcolor{blue}{B})}{\sin(\textcolor{blue}{b})}\\ \sin(\textcolor{blue}{B})&=\frac{\sin(\textcolor{olivegreen}{A})\sin(\textcolor{blue}{b})}{\sin(\textcolor{olivegreen}{a})} \\ \textcolor{blue}{B}&=\arcsin\left(\frac{\sin(\textcolor{olivegreen}{A})\sin(\textcolor{blue}{b})}{\sin(\textcolor{olivegreen}{a})}\right)\end{align}[/math][/center]Si [math]\textcolor{olivegreen}a < \textcolor{blue}b[/math], puisque l'on sait qu'il y a deux angles entre [math]0^\circ[/math] et [math]180\degree[/math] qui possèdent le même sinus (la même hauteur), les deux solutions sont :[br][br][center][math]\begin{align}B_1 &= \textcolor{blue}{B}\\B_2 &= 180\degree - \textcolor{blue}{B}\end{align}[/math][/center]On conserve les solutions qui respectent [math]\textcolor{olivegreen}{A} < \textcolor{blue}{B}[/math].

On connaît à ce stade deux angles avec leur côté opposé. On peut écrire les lois des cosinus sphériques pour les côtés et pour les angles afin de caractériser le côté [math]\textcolor{red}{c}[/math] et l'angle [math]\textcolor{red}{C}[/math] :[br][br][center][math]\begin{align}\boxed{C}&&\cos(\textcolor{red}{c}) &=  \cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b}) \cos(\textcolor{red}{C})\\ \boxed{c}&&\cos(\textcolor{red}{C}) &=  -\cos(\textcolor{olivegreen}{A}) \cos(\textcolor{blue}{B}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B}) \cos(\textcolor{red}{c})\end{align}[/math][/center]Mais puisque l'on connaît, [math]\textcolor{olivegreen}{a}[/math], [math]\textcolor{olivegreen}{A}[/math], [math]\textcolor{blue}{b}[/math] et [math]\textcolor{blue}{B}[/math], on se retrouve avec deux [i]équations linéaires[/i] dont les deux inconnues sont [math]\cos(\textcolor{red}{c})[/math] et [math]\cos(\textcolor{red}{C})[/math] [[i]eh oui, comme à la deuxième étape, mais en plus effrayant...[/i]].[br][br][br][table] [tr][br] [td][color=#999999][size=150][b][size=200][right]Un[br]exemple[br]numérique[br].....[br]....[br]...[br]..[br].[/right][/size][/b][/size][/color][/td][br] [td][size=85]On peut mieux le voir à partir d'un exemple. Supposons que [math]\textcolor{olivegreen}{a}=62\degree[/math], [math]\textcolor{olivegreen}{A}=60\degree[/math], [math]\textcolor{blue}{b}=80\degree[/math] et que l'on a calculé que [math]\textcolor{blue}{B}\approx 75,00167\degree[/math]. Les deux équations précédentes s'écrivent dans ce cas comme ceci :[br][br][center][math]\begin{align}\cos(\textcolor{red}{c}) &=  \cos(62\degree) \cos(80\degree) + \sin(62\degree) \sin(80\degree) \cos(\textcolor{red}{C})\\ \cos(\textcolor{red}{C}) &=  -\cos(60\degree) \cos(75,00167\degree) + \sin(60\degree) \sin(75,00167\degree) \cos(\textcolor{red}{c})\end{align}[/math][/center][center][math]\Longleftrightarrow[/math][/center][center][math]\begin{align}\cos(\textcolor{red}{c}) &= 0,08152[br]+ 0,86953[br] \cos(\textcolor{red}{C})\\ \cos(\textcolor{red}{C}) &=  -0,12940[br] + 0,83652[br]\cos(\textcolor{red}{c})\end{align}[/math][/center]Si l'on pose maintenant que [math]x=\cos(\textcolor{red}{c})[/math] et que [math]y=\cos(\textcolor{red}{C})[/math], on se retrouve bien avec un système composé de deux équations linéaires à deux inconnues :[br][br][center][math]\begin{align}x &= 0,08152[br]+ 0,86953 y[br]\\ y &=  -0,12940[br] + 0,83652 x[br]\end{align}[/math][/center][/size][/td][br][/tr][br][/table][br][br]Résolvons dans le cas général ces deux équations. On substitue le [math]\cos(\textcolor{red}{c})[/math] de la première équation dans la deuxième, ce qui nous conduit à :[br][br][center][math]\cos(\textcolor{red}{C}) =  -\cos(\textcolor{olivegreen}{A}) \cos(\textcolor{blue}{B}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B}) \left(\cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b}) \cos(\textcolor{red}{C})\right)[/math][/center][br]On isole maintenant [math]\cos(\textcolor{red}{C})[/math] dans cette équation [[i]je sais, c'est pénible...[/i]] :[br][br][center][math]\begin{align}\cos(\textcolor{red}{C}) =  -\cos(\textcolor{olivegreen}{A}) \cos(\textcolor{blue}{B}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b}) \cos(\textcolor{red}{C}) \\ \cos(\textcolor{red}{C}) - \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b}) \cos(\textcolor{red}{C})=  -\cos(\textcolor{olivegreen}{A}) \cos(\textcolor{blue}{B}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b}) \\ \cos(\textcolor{red}{C}) \left(1 - \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b}) \right)=  -\cos(\textcolor{olivegreen}{A}) \cos(\textcolor{blue}{B}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b}) \\ \cos(\textcolor{red}{C}) = \frac{-\cos(\textcolor{olivegreen}{A}) \cos(\textcolor{blue}{B}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b})}{1 - \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b})}\end{align}[/math][/center]d'où[br][center][math]\boxed{\textcolor{red}{C} = \arccos\left(\frac{-\cos(\textcolor{olivegreen}{A}) \cos(\textcolor{blue}{B}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b})}{1 - \sin(\textcolor{olivegreen}{A}) \sin(\textcolor{blue}{B})\sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b})}\right)}[/math][/center]On peut maintenant remplacer cette valeur dans la première équation :[br][br][center][math]\boxed{\textcolor{red}{c} = \arccos\left(\cos(\textcolor{olivegreen}{a}) \cos(\textcolor{blue}{b}) + \sin(\textcolor{olivegreen}{a}) \sin(\textcolor{blue}{b}) \cos(\textcolor{red}{C})\right)}[/math][/center]Tout est accompli [[i]même si on se sent sur le point d'en mourir[/i]]! Ce fut laborieux, mais il faut quand même avouer que ce sont toutes des opérations que vous connaissez...