ABC est un triangle de côtés BC = a, CA = b, AB = c et de périmètre 2p = a + b + c.[br][br]Le cercle inscrit est tangent en [math]A_1[/math] à (BC), tel que [math]BA_1=p-b[/math] et [math]CA_1=p-c[/math].

[math]BA_2=BC_2=p-c[/math],[br][math]CA_2=CB_2=p-b[/math].[br][br]En effet, [math]2p=b+c+BA_2+CA_2=AC_2+AB_2[/math],[br]avec [math]AC_2=AB_2=p[/math].[br][br]On peut en déduire que [math]B_1B_2=B_1C+CB_2=(p-c)+(p-b)=a=BC[/math].[br]On a donc [math]B_1B_2=C_1C_2=BC[/math].[br][br]On sait ci-dessus que [math]BA_1=p-b[/math] ; les points [math]A_1[/math] et [math]A_2[/math] sont symétriques par rapport au milieu de [AB].[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/s6EdZ9Ca]Cercle inscrit[/url][br][br]Duplication de cette figure : [url=https://www.geogebra.org/m/YnH7HQG2]Cercle exinscrit d'un triangle[/url][br]Descartes et les Mathématiques - [url=https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/relation_metrique.html#c_inscit]Relations métriques dans le triangle[/url]